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FLeuVe

Invité

Ensembles - Cardinalité [Résolu]

Bonjour,

Je n'arrive pas à montrer que:

*
f: |N x |Z --> |N*
   (n,m) --> 2^n(2m-1) est injective.

Idem:

*
F: P(X) x P(X) ---> P(X)
    (A,B) ----> 2A U (2B-1) est injective ( 2A U (2B-1) = {2n : n€A} U {2m-1 : m€ B}

Si vous avez une idée???

merci.

PS: J'espere que google connait l'histoire de Marignan par coeur !

FleuVe

Invité

Re : Ensembles - Cardinalité [Résolu]

Oups, j'ai oublié de préciser: P(X) sont les parties de X et X = |N

FleuVe

Invité

Re : Ensembles - Cardinalité [Résolu]

Désolé je n'ai pas les yeux en face des trous !

La première application est de |N x |N ---> |N*

galdinx

Modo gentil

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Re : Ensembles - Cardinalité [Résolu]

Bonjour

Je suis pas du tout sur de ce que j'avance mais moi je ferais comme ca...

De mémoire f:I->J est injective ssi quelques soient x et y dans I, (f(x) = f(y)) => (x=y)

Pour ton cas a 2 dimensions, je proposerais de fixer une variable et de vérifier que la fonction est injective selon l'autre et vice et versa.

Ainsi, on doit pouvoir vérifier que si (fn(m) = fn(m+d)) => (d=0)
et que (fm(n) = fm(n+d)) => (d=0)

où fn est f avec n fixé et fm la fonciton f a m fixé.

Encore une fois je ne suis pas sur que cela permette de conclure que la fonction est injective dans |N² mais il est évident que la réciproque est vrai.

J'espère être a peu pres clair dans ce que je dis.

Bon courage et bonne journée,

Galdinx

pin-pon

Membre

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Messages : 16

Re : Ensembles - Cardinalité [Résolu]

Bonjour.

Je suppose que l'application est (2^n)(2m+1)

Mais de toute façon, on obtient un nombre entier qui est le produit d'une puissance de 2 et d'un nombre impair.

Un peu d'arithmétique permet de conclure :
Supposons que deux couples est la même image :
(2^n)(2m+1) = (2^n')(2m'+1)

Si le théorème de Gauss est connu, on prouve facilement que par exemple :
2^n divise 2^n' et inversement.

Une fois lancé, la suite doit venir toute seule (il faut prouver n=n' et m=m' bien sur).

Dernière modification par pin-pon (30-09-2007 18:23:14)

FleuVe

Invité

Re : Ensembles - Cardinalité [Résolu]

Bonjour.

Je suppose que l'application est (2^n)(2m+1)

Mais de toute façon, on obtient un nombre entier qui est le produit d'une puissance de 2 et d'un nombre impair.

Un peu d'arithmétique permet de conclure :
Supposons que deux couples est la même image :
(2^n)(2m+1) = (2^n')(2m'+1)

Si le théorème de Gaus est connu, on prouve facilement que par exemple :
2^n divise 2^n' et inversement.

Une fois lancé, la suite doit venir toute seule (il faut prouver n=n' et m=m' bien sur).

Oui tu as raison ce matin j'etais grave dans les choux ... c'est bien (2^n)(2m+1).

En effet c'est un problème d'arithmétique on prouve au passage que tout nombre entier peut se décomposer de la sorte. ( la fonction est bij )

Je vais réflechir avec gauss mais j'ai quelques lacunes en arithmétique :blonde:

Sinon galdinx je ne comprend pas trop ce que tu veux faire.

mais je comprend bien ta phrase: "Pour ton cas a 2 dimensions, je proposerais de fixer une variable et de vérifier que la fonction est injective selon l'autre et vice et versa."

Dans R²
f(x,y) = x.y

si on fixe x=a fa(y)=ay bijectif
si on fixe y=b fb(x)=bx bijectif

donc f(x,y) au moins injective.

f(2,0)=0 f(4,0) = 0 argument pas trés convainquant avec 0 c'est un peu capilotracté.
mais f(2,2) = f(1,4) et (2,2) =/ (1,4).

Donc cela ne marche pas mais p-e ai-je mal compris ton raisonnement.

romu

Membre

Inscription : 15-09-2007

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Re : Ensembles - Cardinalité [Résolu]

Bonjour,

F: P(X) x P(X) ---> P(X)
    (A,B) ----> 2A U (2B-1) est injective ( 2A U (2B-1) = {2n : n€A} U {2m-1 : m€ B}

on considère deux couples distincts d'éléments (A,B) et (C,D) de  P(X) x P(X), et on montre que [tex]F(A,B)\neq F(C,D)[/tex], et ainsi F est injective, non?

Dernière modification par romu (30-09-2007 18:54:52)

FleuVe

Invité

Re : Ensembles - Cardinalité [Résolu]

je vois une croix à la place de ca: [tex]   F(A,B)\neq F(C,D)   [/tex]

Ca veut dire quoi?

FleuVe

Invité

Re : Ensembles - Cardinalité [Résolu]

Ha bah tiens !

FleuVe

Invité

Re : Ensembles - Cardinalité [Résolu]

Oui cela montre que c'est injectif.

Mais cela te parait clair?

romu

Membre

Inscription : 15-09-2007

Messages : 32

Re : Ensembles - Cardinalité [Résolu]

on considère deux couples distincts d'éléments (A,B) et (C,D) de  P(X) x P(X),

on a donc A différent de C ou B différent de D.

Si A  est différent de C, alors il existe un élément a de A qui n'est pas dans C,
donc 2a est dans 2A mais pas dans 2C (autrement a serait dans C). 
Supposons que 2a est dans 2D-1, alors 2a est impair ce qui est absurde.
donc 2a est un élément de F(A,B) qui n'est pas dans F(C,D).
Par conséquent F(A,B) est différent de F(C,D).

Je te laisse faire le cas où C est différent de D qui est très similaire.

FLeuVe

Invité

Re : Ensembles - Cardinalité [Résolu]

Merci romu & pin-pon