Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Edwar

Invité

développement limités

bonsoir est ce que quelqu'un peut m'aider sur le probleme suivant
En utilisant la formule de taylor lagrange,montrer que
1.[tex]x-\frac{x²}{2} \le ln(1+x) \le x[/tex]  pour tout x [tex]\ge[/tex] 0
2.[tex]1-\frac{x²}{2} \le cos(x) \le 1- \frac{x²}{2}+\frac{x^4}{24}[/tex] pour tout x (on pourra utiliser deux formules de T-L)
3.[tex]ln(1+cosx) \le ln2-\frac{x²}{4}[/tex] pour |x|<π
4.[tex]1+x+\frac{x²}{2}+\frac{x^3}{6}<e^x<1+x+\frac{x²}{2}[/tex] pour tout x appartenant à R

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : développement limités

Bonsoir Edwar (ou Bric? Tu sais, ce n'est pas parce que tu changes de pseudo qu'on ne sait pas qu'il s'agit de la même personne!)

T'aider, oui. Faire l'exercice à ta place, non!
Par exemple, les questions 1 et 2 sont des applications directes de la formule de Taylor-Lagrange, par exemple pour 2., à la fonction $\cos $ entre $0$ et $x$, à un ordre suffisant (par exemple, 3 pour une des deux inégalités). Est-ce que tu bloques encore?

F.

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 514

Re : développement limités

Bonsoir Edwar (ou Bric? Tu sais, ce n'est pas parce que tu changes de pseudo qu'on ne sait pas qu'il s'agit de la même personne!)

T'aider, oui. Faire l'exercice à ta place, non!
Par exemple, les questions 1 et 2 sont des applications directes de la formule de Taylor-Lagrange, par exemple pour 2., à la fonction $\cos $ entre $0$ et $x$, à un ordre suffisant (par exemple, 3 pour une des deux inégalités). Est-ce que tu bloques encore?

F.

Bonjour Fred,

Je n'ai aucune difficulté à résoudre ces exercices, cependant je suis un rien dubitatif sur la méthode demandée dans la question 1.

Le développement de taylor lagrange de ln(1+x) n'est pas convergeant pour |x| > 1

Evidemment, il est facile de se passer de taylor lagrange pour résoudre le problème mais ce n'est pas ce qui est demandé.

Ne me réponds évidemment pas tant que Edwar n'aura pas travaillé.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 478

Re : développement limités

Le développement de taylor lagrange de ln(1+x) n'est pas convergeant pour |x| > 1.

Bonjour,

Il ne faut pas confondre la série de Taylor avec la formule de Taylor-Lagrange (à un ordre donné). Pour cette dernière, aucun problème de convergence ! Et il suffit effectivement d'écrire la formule de Taylor-Lagrange aux ordres convenables à l'origine pour obtenir les inégalités désirées.

Edwar

Invité

Re : développement limités

bonsoir fred
mon problème est que je ne sais pass comment utiliser le théorème de taylor lagrange.C'est mon premier exercice sur ce chapitre

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 478

Re : développement limités

Peux-tu écrire la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction [tex]x\mapsto \ln(1+x)[/tex] entre [tex]0[/tex] et [tex]x>0[/tex]  à l'ordre 2 ?