Convergence et limite[Résolu]

HEYES · 25-09-2007 05:13:50

Pouvez vous m'aider sur ces deux exos.
On me demande d'étudier la convergence et de déterminer les limites de ces deux suite.

Le premier:

Un = (2) / (1x3) + (2) / (2x4) + (2) / (3x5) + .......+ (2) / n(n+2).

Le second

Somme k=1 ( 3 k +2 ) / Somme k=1 K.

Pouvez vous m'indiquer comment vous afficher les signes suivant : somme, racine carré, division.

J'arrive pas à l'afficher dans mes questions.

Merci d'avance

yoshi · 25-09-2007 07:46:42

Bonjour,

Je crois avoir compris. Tu veux avoir un affichage comme celui-ci :

[tex]U_n=\sqrt{1 \times 3}+\sqrt{2 \times 4}+\sqrt{3 \times 5}+...+\sqrt{n \times (n+2)[/tex]

et

[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{3k+2} U_k[/tex]

C'est bien ça ?
Bon c'est du code Latex.
Chaque formule est encadrée entre les 2 balises [ tex] et [ /tex] (sans l'espace).
Pour les mots-clé, voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX
Ma première ligne de code est : U_n=\sqrt{1 \times 3}+\sqrt{2 \times 4}+\sqrt{3 \times 5}+...+\sqrt{n \times (n+2).
La deuxième : \displaystyle \sum_{k=1}^{3k+2} U_k.
Grâce à toi, je me suis obstiné et je viens de comprendre ce que je cherche depuis des mois. En effet, jusqu'à présent, je n'utilisais pas la commande \displaystyle, et voilà ce que ça donnait :
[tex]\sum_{k=1}^{3k+2} U_k[/tex]

Pas beau ! Le wiki français n'était pas assez explicite, j'ai trouvé avec le wiki anglais (ou alors, j'ai fait plus attention comme c'était de l'anglais...)

Maintenant, tu n'as plus qu'à réécrire le texte de ton exo, parce que si c'est ce que tu as tenté de faire, tu peux constater que je n'ai probablement rien compris à tes demandes sur le fond...

Courage, c'est assez ch... au début, puis on s'y fait !

@+

HEYES · 26-09-2007 05:09:19

Non la première limite c'est des divisions. 2 que divise (1x3), pareil pour la reste des nombres.

yoshi · 26-09-2007 06:35:39

Bonjour,

Donc 1ere question :

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{2}{1 \times3}+\frac{2}{2 \times 4}+\frac{2}{3 \times 5}+\cdots+\frac{2}{n(n+2}= ?[/tex]

Et pour la 2e ?

A te lire.

yoshi · 26-09-2007 16:20:27

Re,

Bon, allez un "biscuit" pour la route :
[tex]\frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}[/tex]

@+

HEYES · 28-09-2007 03:13:53

oui c'est la bonne écriture.
Comment à tu fait pour décomposer la suite de cette maniere?

Commen d'étudie la convergence de cette suite ?

Merci pour le biscuit

yoshi · 28-09-2007 08:14:27

Bonjour,

Bien sûr que c'est la bonne écriture... Grâce à elle on décompose chaque terme et on trouve la limite.
Cette limite je la connaissais avant de la prouver : 3 lignes de code en Python m'ont donné pour n = 1000 000 pratiquement 1,5...
Alors comment j'ai trouvé la méthode ? En fouillant ma mémoire, j'ai retrouvé un exercice (pas sur les suites) ou on faisait :
[tex]\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}[/tex]
Quant à la convergence, c'est maintenant très simple. Citation :
"Une suite qui admet pour limite un réel a est dite convergente vers a."
c'est ce que dit mon bouquin, le tien aussi sûrement.

Voilà maintenant t'as le paquet complet (de biscuits) !

Enjoy !

@+

PS et pour ta deuxième question : Somme k=1 ( 3 k +2 ) / Somme k=1 K, qu'est-ce que tu voulais dire par là ?

HEYES · 02-10-2007 05:18:27

je voulais écrire :

\ sum _ {k=1}^{n} (3k+2) \frac \sum {k=1}^{n} k

J'ai essayé, c'est peut être pas super. Mais je vais persévérer.
Merci

HEYES · 02-10-2007 05:20:02

Apparemment ma formule ne s'affiche pas correctement à l'écran. Comment passer du code latex à l'affichage correct sur l'écran

yoshi · 02-10-2007 07:51:56

Salut,

Ta formule est presque correcte. Pour améliorer l'affichage, j'ajoute avant \sum la commande \displaystyle. D'autre part, la syntaxe pour la fraction est : \frac{numérateur}{dénominateur}; \frac annonce une fraction, et ne représente pas le trait de fraction.
Mais le principal est que toute formule latex doit être encadrée entre 2 balises [tex ] et [/tex ] (sans les espaces après le x de tex).

[tex]\displaystyle \frac{\sum _ {k=1}^{n} (3k+2)}{\sum_{k=1}^{n} k[/tex]

Le code latex (je n'ai pas mis les balises) : \displaystyle \frac{\sum _ {k=1}^{n} (3k+2)}{\sum_{k=1}^{n} k

En examinant tes premier et dernier post, il me semble que la formule affichée est ce que tu cherchais... Ca m'a l'air cohérent, je vais donc y réfléchir.

@+

yoshi · 02-10-2007 09:06:28

Re,

Ton numérateur est la somme des n premiers multiples de 3 + 2 (pour n > 0). Pour n = 3 --> 5, 8, 11...
Reste à trouver cette somme en fonction de n.
Y a peut-être plus simple, mais j'ai rajouté le nombre 2 à la liste pour enlever 2 à la somme à la fin.
Puis j'ai utilisé la méthode employée pour démontrer dans le cours l'expression de la somme des n premiers nombres entiers en fonction de n :
S = 2 + 5 + 8 + 11 +....+ (3n+2)
S =(3n + 2) + + 2
Là, il y a chaque fois n+1 nombres...
J'ai additionné, obtenu 2S... La suite est sans surprise.

Le dénominateur n'est autre que la somme des n premiers nombres entiers citée ci dessus et dont la valeur est bien connue...

Bon, ça ne t'es peut-être pas possible, mais si tu ne reviens pas plus souvent, consulter et/ou poster, on ne va pas avancer bien vite...

@+

HEYES · 16-10-2007 03:33:22

Comment arrives tu à démonter la convergence et la limite ?
J'ai une simplification sous cette forme Vn = (3 ) + 4n / n(n+1) .
pourquoi 4 n .
Je cerne pas .
Merci

yoshi · 16-10-2007 08:46:21

Bonjour,

Tu refais surface 14 jours plus tard sans coup férir, et tu ne dis même pas Bonjour...

Mais j'ai commencé un travail, alors je le finis.
De quel exo parles-tu ?
La seule mention de Vn que je trouve est dans ton dernier post... Comme Un est le premier exo, je présume que Vn est le second
Bon, ce n'est pas simple de remettre le nez dans ce que j'ai imaginé il y a deux semaines : de l'eau a coulé sous les ponts de BibM@th depuis...
Je vais donc repartir de ce que tu as écrit
[tex]V_n=3+\frac{4n}{n(n+1)}=3+\frac{4}{n+1}[/tex]
Et tu ne vas pas me dire que tu ne trouves pas la limite de Vn quand n --> +oo ?
Quant à la convergence, alors rappel

"Une suite qui admet pour limite un réel a est dite convergente vers a."
c'est ce que dit mon bouquin, le tien aussi sûrement.

@+

A John,

J'avais posté, puis je me suis rendu compte de ma confusion et j'ai supprimé mon post, sans voir le tien, qui devient alors inutile. Alors je vais le supprimer avant de poster..
Je ne fais pas de censure à ton égard ;-)

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