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Dionneau

Invité

Les suites

Bonjour, j’ai un dm de maths à faire mais j’e suis bloquée. Je n’en sais plus comment trouver une conjecture à partir de U0 et UN+1.
On considère la suite (Un) définie par U0=2 et pour tout entier naturel n par Un+1 =2xUn-1
U1=2x2-1=3
U2=2x3-1=5
U3=2x5-1=9
U4=2x9-1=17
U5=2x17-1=33
U6=2x33-1=65
1) Émettre une conjecture sur l´expression du terme général de cette suite.
2)Démontrer cette conjecture.
3)On considère la suite(Vn) définie pour tout entier naturel n par Vn=Un-1.
Montrer que (Vn) est géométrique de raison 2, puis en déduire l’expression du terme général de la suite(Un).

yoshi

Modo Ferox

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Re : Les suites

Bonjour,

Après mûre réflexion, je ne vois pas d'autre alternative à à donner en Q2 une réponse qu'on redonnera à Q3 par une autre voie...
D'autant que la formule se voit " comme le nez au milieu de la figure"...
Donc voilà.
Je vais arranger tes calculs autrement :
ue doit-on observer avec tes premières valeurs :
$u_0 =\;\;2$ 
$u_1 =  \;\; 3  = u_0+1 \quad\quad\quad\quad\;\;\, = 2+1=2^1+1$
$u_2 =  \;\;  5  = u_1+2 = u0+3 \;\;= 4+1= 2^2+1$
$u_3 =  \;\;  9 =  u_2+3 = u0+7 \;\;= 8+1=2^3+1$
$u_4 = 17  = u_3+2 = u0+15 = 16+1=2^? +1$
$u_5 = 33  = u_4+16=u_0+31 = 32+1=\cdots + 1$
$u_6 = 65  = u_5+32=u_0+64 =64+1=\cdots + 1$

Que vois-tu ? est-tu capable de compléter les trous que j'ai laissés ci-dessus ?
Si oui, alors Tu dois pouvoir conjecturer que $u_n=\cdots+1$

2.Comment le prouver ? Avec un raisonnement par récurrence.
Il comporte toujours 3 étapes ;
* Vérification que ta formule est exacte pour des petites valeurs de n. Ça c'est fait dans la première question.
   Reprendre que pour n=2 : $ u_2=5=4+1=2^2+1$
   Reprendre que pour n=3 : $ u_3=9=8+1=2^3+1$
   Reprendre que pour n=4 : $ u_4=17=16+1=2^4+1$

* Initialisation. Tu supposes la formule vraie pour n : $u_n=\cdots +1$

* Vérification de la transmission de l'héritage : là, il fait montrer  que c'est vrai pour n+1.
- de la formule donnée : [tex]u_{n+1}=2u_n-1[/tex]
- de la formule découverte, en remplaçant, dans l'égalité ci-dessus,  $u_n$ par la formule admise à la 2e *...
   Développez, réduire, servez chaud ! ^_^

Q3. Là c'est plus simple que tout...
      Avec l'énoncé
      * Tu pars de $v_{n+1}=u_{n+1}-1$
      * Tu remplaces ci-dessus $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$ soit  $u_{n+1}$ par  $2u_n-1$. Tu réduis.
      * Sachant que $v_n=u_n-1$, tu en tires $u_n$ en fonction de $v_n$ que tu remplaces dans la formule ci-dessus.
      * Tu développes, tu réduis et tu tombes sur [tex] v_{n+1})=2v_n[/tex]
     Tu peux alors annoncer que  $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme $v_0$ à calculer..
     Tu peux alors dans $v_n=2^n$ remplacer $v_n$ par $u_n-1$  pour écrire $ u_n=\cdots+1$

@+