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JB TS

Invité

Un exercice de spécialité maths terminale S :impossible [Résolu]

Bonjour, j'ai un exercice dont je ne comprends même pas la consigne je vous le soumet si vous avez des pistes à me soumettre por m'aider à avancer ( c'est pour demain ...)
On considère un polynôme P à coefficients entiers relatifs : [tex]P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ..... + a_1*x + a_0[/tex]

1. Montrer que toute racine entière de P, non nulle, divise   [tex]a_0[/tex].

2. En déduire que le polynôme   [tex]x^3-2x^2+4x-10[/tex] n'a pas de racines entières.

Je ne comprends pas ce que sont les coefficients entiers relatifs ni les racines dans P ...
Si quelqu'un peut m'aider je prends!!
Merci d'avance.

[EDIT]
Je me suis permis de retoucher ton post en utilisant le code Latex, pour qu'il soit plus "lisible".
Yoshi - Modérateur

yoshi

Modo Ferox

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Re : Un exercice de spécialité maths terminale S :impossible [Résolu]

Bonsoir,

Pour faire vite, je vais répondre sur la forme, donc à tes questions, et pas sur le fond (problème)
Petit rappel :
L' ensemble des nombres entiers relatifs [tex]\mathbb{Z}[/tex] est l'ensemble des nombres entiers signés (positifs ou négatifs).
Ainsi les coefficients de ton polynôme :
[tex]x^3-2x^2+4x-10[/tex]
qui sont dans l'ordre : 1 ; -2 ; +4 ; -10 sont des nombres entiers relatifs...

Les racines du Polynôme P(x) sont les valeurs de x telles que P(x) = 0.

Je me penche maintenant sur le fond.
J'espère pour toi que quelqu'un passera par là qui sera plus rapide que moi...

@+

JB TS

Invité

Re : Un exercice de spécialité maths terminale S :impossible [Résolu]

Eh bien déjà Yoshi merci pour les racines car je savais juste que c'était des solutions donc là j'ai mieux compris mais après les coefficients entiers relatifs dans P(x) c'est par exemple a(indice)n a(indice)n-1 a(indice)1 ou a(indice)0 ?

Sinon je ne vois toujours pas comment réussir à trouver les racines de P(x)...

yoshi

Modo Ferox

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Re : Un exercice de spécialité maths terminale S :impossible [Résolu]

Re,

Oui, les coefficients sont a0, a1, a2... etc

Si x1 est une racine entière de ton polynôme P(x), ce dernier est donc factorisable sous la forme du produit de (x - x1) et d'un polynôme de degré n-1. Voilà qui devrait rendre évidente la première question surtout si tu penses à ce que si se passe lors du développement du prosuit précédent pour le dernier terme...

Nulle part, on ne te demande de trouver les racines de P(x). Relis ton texte...

@+

JB TS

Invité

Re : Un exercice de spécialité maths terminale S :impossible [Résolu]

Re,
Yoshi je suis désolée mais je n'arrive toujours pas à comprendre... d'où vient ( x-x1) ? en bref je bloque encore...
Si tu pouvais m'éclairer une dernière fois s'il te plais?
Merci

pin-pon

Invité

Re : Un exercice de spécialité maths terminale S :impossible [Résolu]

Ben forcément, on ne fais pas ses exercices de maths juste la veille... Ou alors on cours à la cata !

Mais voila (il ne s'agit pas de trouver les racines - il ne faut donc pas chercher à résoudre l'équation):
Supposons que x soit une racine entière du polynôme.
Dans ce cas P(x) = 0.
En l'écrivant, on peut alors isoler a0.
Et alors le second membre se factorise de façon assez évidente en un produit de deux nombres entiers.
Il ne reste plus qu'a ressortir sa définition d'un diviseur et le tour est joué.

Reste à voir si tout est bien compris avec l'application.

N'oublie pas de te donner le temps de réfléchir à tes exs la prochaine fois (l'arithmétique c'est passionnant, mais c'est une discipline exigeante).
;-)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Un exercice de spécialité maths terminale S :impossible [Résolu]

Bonsoir,

C'est du cours de 1ere sur les liens entre factos et racines de polynômes...
On a dû te montrer, lors de l'étude du discriminant en 1ere, que si un polynôme du 2nd degré ax²+bx+c, admet deux racines réelles, x1 et x2, alors il se factorise sous la forme a(x-x1)(x-x2).
Il est impossible que tu n'aies pas vu ça !!! ...
C'est donc aussi vrai d'un polynôme de degré n : si x1 est une racine entière de ce polynôme, alors on peut écrire : P(x)=(x-x1).P'(x) où P'(x) est un polynôme de degré n-1

La réponse à ta question est là !

@+

Pinpon a raison : pas très sérieux tout ça. Les bonnes habitudes de travail doivent être prises très tôt !

JB TS

Invité

Re : Un exercice de spécialité maths terminale S :impossible [Résolu]

Bonsoir à nouveau,
Je sais bien que j'aurais dû m'y prendre plus tôt le problème c'est que avec la masse de travail que l'on a on ne peut pas toujours faire comme on veut mais à l'avenir je m'y prendrais plus tôt c'est sûr ( et puis il ne faut pas oublier que ce week-end c'était les journées du patrimoine et que pour ma culture j'ai visité des choses samedi après midi donc évidemment encore du temps de travail en moins ...) Bref j'ai trouvé merci beaucoup pour votre aide. A bientôt je n'espère pas ( sinon cela voudra dire que je ne comprendrais pas !)
Merci encore. Bonne soirée.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Un exercice de spécialité maths terminale S :impossible [Résolu]

Ok !

Mais, ne fais pas le timide, hein ?
Si besoin est, reviens...

@+