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Binks

Invité

Aide exercice composition de fonctions

Bonjour à tous,

Dans un exercice, je bloque un peu sur cette question.

On a les fonctions [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] telles que :

[tex]\forall x \in [-1,1], f(x) = \arcsin(2x\sqrt{1-x^2})[/tex] et [tex]\forall x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], g(x) = \sin(x)[/tex].

Il faut déterminer l'application [tex]f \circ g[/tex]. Il me semble que l'on a :

[tex]\forall x \in [-1,1], h(x) = f(g(x)) = \arcsin(2\sin(x)\sqrt{1-\sin(x)^2})[/tex] ce qui en développant donne [tex]2x[/tex] si je ne me trompe pas.

Il faut alors en déduire une expression plus simple de [tex]f[/tex]. Et c'est là que j'ai un peu de mal.. Pourriez-vous m'aider ?

Merci beaucoup.

Yassine

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Re : Aide exercice composition de fonctions

Bonsoir,

Tu as donc $f(g(x))=2x$, si tu poses $u=g(x)$, donc $x=g^{-1}(u)$
Tu as alors $f(u)=2x=2g^{-1}(u)=2\arcsin(u)$

Binks

Invité

Re : Aide exercice composition de fonctions

Merci Yassine pour cette technique.

Par curiosité, je remarque que la première définition de [tex]f[/tex] a ses valeurs dans [tex]]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[[/tex] et que la deuxième est dans [tex]]-\pi, \pi[[/tex], cela est-il gênant, i.e. cela veut-il dire que la seconde définition de [tex]f[/tex] est fausse ?

D'autre part, je remarque que ces deux définitions n'ont pas la même représentation graphique, et pourtant le raisonnement semble juste, saurais-tu dire pourquoi ?

Merci beaucoup.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Aide exercice composition de fonctions

Bonjour,

Depuis hier soir :

$\forall x$ [tex]\in [-1,1][/tex], [tex]h(x) = f(g(x)) = \arcsin(2\sin(x)\sqrt{1-\sin(x)^2})[/tex]

me chiffonne...
Pour moi, c'est $\forall x$ [tex]\in \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right][/tex] : ici x est un angle...
Exemple.
Je pose
[tex]x= 0.9659258262890683\; \left(\approx \sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\right)[/tex]
[tex]X=\dfrac{5\pi}{12}[/tex]

[tex]\arcsin(2x\sqrt{1-x^2})\approx 0.5235987755982985[/tex]  ici x est un sinus donc [tex] x\in[-1\,;\,1][/tex]

[tex]\arcsin(2\sin(X)\sqrt{1-sin^2(X)}\approx 0.5235987755982985[/tex] ici X est un angle donc [tex]X \in\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right][/tex]

Et donc [tex]2X \in[-\pi\,;\,\pi][/tex]
Mais cela cela change pas le domaine de définition de f(g(X)) ou celui de f(x).

@+

Dernière modification par yoshi (10-04-2018 07:54:29)

Binks

Invité

Re : Aide exercice composition de fonctions

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Bien sûr.. c'est [tex]\forall x \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[, f(g(x)) = \; ...[/tex]

Par contre, je remarque que selon la définition de la composée de [tex]g[/tex] par [tex]f[/tex], on devrait avoir le même ensemble d'arrivée pour [tex]f[/tex] et [tex]f \circ g[/tex].. Et je ne comprends pas bien pourquoi cela n'est pas le cas..

Binks

Invité

Re : Aide exercice composition de fonctions

Une idée d'explication ?

Yassine

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Re : Aide exercice composition de fonctions

Bonjour,
Je pense que l'erreur vient de ton premier calcul, à savoir que $f(g(x))=2x$. Tu as dû utiliser à un moment le fait que $\arcsin(\sin(2x))=2x$. Or, ça n'est vrai que si $2x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, et donc que $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.
Tu devra donc distinguer trois cas :
1) $x \in [-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4}]$
2) $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$
3) $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$

Binks

Invité

Re : Aide exercice composition de fonctions

Bonjour,

Oui, la vilaine erreur... Merci encore pour ta réponse.
Je vois que graphiquement, dans les autres cas, la composée vaut [tex]-2x[/tex].
J'ai pensé à écrire :

1) si [tex]2x \in [\pi,-\frac{\pi}{2}][/tex] alors [tex]2x+\pi \in [0,\frac{\pi}{2}][/tex] et donc [tex]\arcsin(\sin(2x+\pi)) = \arcsin(-\sin(2x)) = -2x[/tex]

3) si [tex]2x \in [\frac{\pi}{2}, \pi][/tex] alors [tex]2x+\pi \in [-\frac{\pi}{2},0][/tex] et donc [tex]\arcsin(\sin(2x+\pi)) = \arcsin(-\sin(2x)) = -2x[/tex]

Penses-tu que cela est juste ?

Black Jack

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Re : Aide exercice composition de fonctions

Salut,

f(g(x)) = arcsin(2.sin(x).V(1-sin²(x))  pour x compris dans [-Pi/2 ; Pi/2]

Comme sur [-Pi/2 ; Pi/2], on a : cos(x) = V(1 - sin²(x)) (car positif), on a :

f(g(x)) = arcsin(2.sin(x).cos(x))  pour x compris dans [-Pi/2 ; Pi/2]

f(g(x)) = arcsin(sin(2x))  pour x compris dans [-Pi/2 ; Pi/2]

MAIS ATTENTION, on n'a pas arcsin(sin(2x)) = 2x

Pour t'en persuader essaie par exemple de calculer (à la calculette) pour x = 1 (qui est bien compris dans [-Pi/2 ; Pi/2])

arcsin(sin(2*1)) = 1,14159... qui n'est pas égal à 2x = 2*1 = 2 (ni égal à -2x = -2)

On a bien arcsin(sin(2x)) = 2x  pour x compris dans [-Pi/4 ; Pi/4] ...

Mais il te reste à réfléchir pour x compris dans [-Pi/2 ; -Pi/4[ et dans ]Pi/4 ; Pi/2]

... et pour ces intervalles, la réponse n'est pas -2*x comme tu le suggères.

Petite aide complémentaire :

Si on reprend le calcul pour x = 1:

arcsin(sin(2*1)) = 1,14159...
-2x = -2
on n'a pas 1,14159... = -2, mais en regardant bien on a -2 + Pi = 1,14159...

Ce n'est pas un hasard.

Et pense aussi à faire un calcul (calculette) par exemple pour x = -1 ...

Cela devrait te mettre sur la voie.

Binks

Invité

Re : Aide exercice composition de fonctions

Merci beaucoup pour ta réponse.

Après réflexion, on pourrait plutôt dire que :

1) si [tex]x \in ]\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}], \arcsin(\sin(2x)) = -2x +\pi[/tex]
2) déjà vu
3) si [tex]x \in [-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{4}[, \arcsin(\sin(2x)) = -2x -\pi[/tex]

Je ne mets pas tout le raisonnement, mais cela semble plus juste n'est-ce pas ?

En tous cas, cela a l'air de résoudre les interrogations graphiques que j'avais, et d'obtenir une simplification exacte de [tex]f[/tex], pour les trois intervalles déterminés..

Yassine

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Re : Aide exercice composition de fonctions

Bonjour,
Oui, ça me parait correct.