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francoisdahmali

Invité

variable aleatoire et independance

Salut, pouvez vous m'aider s'il vous plait, pour resoudre cet exercice:

On considère un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$
1) soit X et Y deux variables aléatoires reelles independantes. Prouver que
$$X-Y \in L^1 \ si \ et \ seulement \ si \ X \in L^1 \ et \ Y \in L^1$$

2) Soit $(X_n)_{n}$ une suite independante de v.a.r. et de meme loi. On suppose qu'il existe une suite $(x_n)_n$ de reels tels que :
$$\mathbb{P}\left(\limsup_n\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}{X_k}-x_n\right| \right)>0$$

a) Prouver qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}_+$ tel que $\limsup_n\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}{X_k}-x_n\right|=\alpha \ \ p.s$

b) Soit $(Y_n)_n$ une copie independante de $(X_n)_n$ et $V_n=X_n-Y_n.$ Prouver que :
    i) $\limsup_n\left| \frac{1}{n}V_n\right|<+\infty \ presque \ surement$
    ii) il existe $\beta \in \mathbb{R}_+$ tel que $\limsup_n\left| \frac{1}{n}V_n\right|=\beta \ p.s$
    iii) $\sum_n{\mathbb{P}(\left|V_n \right|>n(1+\beta))}<+\infty \ et \ \mathbb{E}(\left|V_1 \right|) <+\infty$

c) Soit $(H_n)_n$ une suite independante de v.a.r et de meme loi avec $\mathbb{E}(\left|H_1 \right|) =+\infty.$
Prouver que, pour toute suite $(x_n)_n$ de reels, $\limsup_n\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}{H_k}-x_n\right| =+\infty \  \ p.s.$

Pour 1) le sens reciproque (en supposant que X et Y sont integrables), on a

$$\int_{\Omega}|X-Y|d\mathbb{P}\leq \int_{\Omega}|X|d\mathbb{P}+\int_{\Omega}|Y|d\mathbb{P}<+\infty$$

comment verifier le sens direct?? et, pouvez-vous me donner des indications pour les autres questions, svp

Merci d'avance

Fred

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Re : variable aleatoire et independance

Bonjour,

  Il n'a pas l'air facile ton exo! Je n'ai pas trop le temps de chercher, mais voici tout de même une piste pour la première question :
je pense qu'il faut calculer les intégrales en utilisant les lois de $X$, de $Y$, et du couple $(X,Y)$. Si $P_X$, $P_Y$ et $P_{(X,Y)}$ sont les lois respectives, tu sais que

$$\int_{\mathbb R^2}|x-y|dP_{(X,Y)}(x,y)dxdy<+\infty.$$

Par indépendance de $X$ et $Y$,

$$\int_{\mathbb R^2}|x-y|dP_X(x)dP_Y(y)dxdy<+\infty.$$

Ceci entraîne qu'il existe au moins un $y_0\in\mathbb R$ (en fait, c'est vrai pour presque tout (au sens $P_Y$)) tel que
$$\int_{\mathbb R}|x-y_0|dP_X(x)<+\infty.$$

Ceci entraîne que $X\in L^1$.

F.

SpeakX

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Re : variable aleatoire et independance

Bonjour,

Je ne comprend pas votre hypothèse dans la deuxième question ??? La probabilité d'une limite sup ??
Merci de corriger si c'est faux!

SpeakX

francoisdahmali

Invité

Re : variable aleatoire et independance

Saliut, excusez dans la question 2 j'ai oublié de metttre qu'elle est plus petite que l'infini :
$$\mathbb{P}\left(\limsup_n\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}{X_k}-x_n\right| <+\infty\right)>0$$

merci pour votre attention

Francois dahmali

Invité

Re : variable aleatoire et independance

Pour les autres questions, la loi 0-1 de Kolmogorov, permet peut etre, de donner une reponse, je ne sais pas s'il y a une autre manière, peut le lemme de Borel-Cantelli
Avez vous des idées?