Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Alexandre

Membre

Inscription : 05-07-2007

Messages : 21

Triangle [Résolu]

Bonjour à tous,

Voilà j'ai un gros problème avec cet exercice :

Nous disposons d'un triangle équilatéral ABC, à l'intérieur de ce triangle nous avons un point O et les distances respectives aux côtés du triangle sont de 3, 4 et 5.

Trouvez l'aire de ce triangle.
PS : réponse avec sqrt(a).

Merci de vôtre aide.

Edit@Galdinx : déplacé dans la section appropriée

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Triangle [Résolu]

Bonjour,

1. Je présume que le triangle équilatéral est tel que AB=AC=BC=a
2. Les distances de O à [AB], [AC], [BC] sont les longueurs des segments de perpendiculaires abaissées de O sur ces mêmes côtés
3. Si tu joins [OA], [OB] et [OC] tu obtiens 3 trois triangles AOB AOC et BOC, de sommet O, dont les hauteurs relatives issues de O à leurs côtés [AB], [AC] et [BC], sont les segments de perpendiculaires ci-dessus.
4. L'aire d'un triangle de base a et de hauteur h se calcule par (a* h)/2
5. En conséquence, l'aire cherchée est pour moi 6a, sans racine carrée...

Ton énoncé est-il le bon ?

@+

Alexandre

Membre

Inscription : 05-07-2007

Messages : 21

Re : Triangle [Résolu]

Bonjour,

En faite nous avons un point O dans le triangle équilatéral.
Sur le segment AB, nous avons un point h' et la distance Oh'=3.
Sur le segment AC, nous avons un point h'' et la distance Oh''=4.
Sur le segment BC, nous avons un point h et la distance Oh=5.

Et je dois trouvé l'aire de ce triangle.
En espérant que ce soit plus clair.

Cord.
Alexandre.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Triangle [Résolu]

Re,

Dans ton énoncé, ote-moi d'un doute, il n'est nulle part écrit cette phrase : "distance du point O au segment [AB]", mais bien distance OH, avec H étant un point de [AB] et O à l'intérieur du triangle ABC ?
a est la mesure de la longueur du coté du triangle ? sûr ?

Parce qu'avec ta nouvelle version, tes points H, H', H" et O ne servent à rien...
La hauteur relative à un côté de longueur a d'un triangle équilatéral est [tex]\frac{a sqrt 3}{2}[/tex]
L'aire du triangle est donc : [tex]\frac {a \times \frac{a sqrt 3}{2}}{2}=\frac{a^2 sqrt 3}{4}[/tex]
Et toujours pas de racine carrée de a... Donc, je pense qu'il serait préférable, si ce n'est pas le cas, que tu recopies ton énoncé sans rien omettre ni transformer.

Désolé.

@+

Alexandre

Membre

Inscription : 05-07-2007

Messages : 21

Re : Triangle [Résolu]

Voici l'énoncé :

Nous disposons d'un triangle équilatéral ABC, à l'intérieur de ce triangle nous avons un point O et les distances respectives aux côtés du triangle sont de 3, 4 et 5.

Sur le segment [AB], nous avons un point h' et la distance Oh'=3.
Sur le segment [AC], nous avons un point h'' et la distance Oh''=4.
Sur le segment [BC], nous avons un point h et la distance Oh=5.

Voilà, trouvez l'aire de ce triangle.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Triangle [Résolu]

re,

Je crois comprendre...
D"abord quelques observations préliminaires :
1. Je ne trouve pas de trace du petit a dans ton énoncé,
2. Je ne trouves pas de mention de racine carrée de a dans ton énoncé. Ceci était-il un ajout de ton cru ? Si oui, et que j'ai bien saisi, tu m'as mis sur une fausse piste.

Mais ce n'est pas grave !

Bon, voilà mon plan :
1. Je pose AB = AC = BC = a
2. je calcule l'aire du triangle en fonction de a de 2 façons
3. je résous l'équation ainsi obtenue et j'obtiens la valeur exacte de a (en fonction de [tex]sqrt 3[/tex])
4. je remplace a et j'obtiens finalement l'aire du triangle en fonction de [tex]sqrt 3[/tex]

Réalisation.
Relis mes deux premiers posts :
1. Les hauteurs des triangles AOB, AOC, BOC sont bien [OH'], [OH""] et [OH]. Voir, pour comprendre, si nécessaire, la définition de la "distance d'un point à une droite", mesurant respectivement 3, 4 et 5.
2. a)Les aires de ces triangles sont donc respectivement de [tex]\frac{3a}{2},\;\frac{4a}{2} \text{ et }\frac{5a}{2}[/tex]. L'aire du triangle ABC  est donc la somme de ces 3 aires, soit 6a.
    b) D'autre part l'aire d'un triangle équilatéral de côté a est bien celle que j'ai donnée ensuite  [tex]\frac{a^2 sqrt 3}{4}[/tex]
3. Les 2 aires obtenues sont donc égales puisqu'il s'agit du même triangle. On obtient donc une équation en a qu'on résout pour trouver a.
4. On remplace la valeur obtenue dans l'une ou l'autre formule et on otient LA valeur exacte de l'aire du triangle.

Ca te va ?

@+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Triangle [Résolu]

Re-bonsoir,

Pour compléter ce que j'ai écrit...
On obtient :
[tex]a=8 \sqrt 3 \text{ et }Aire=48 \sqrt 3[/tex]

@+

Alexandre

Membre

Inscription : 05-07-2007

Messages : 21

Re : Triangle [Résolu]

Merci Yoshi pour cette démonstration.