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Dattier

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L'ensemble des énoncés de AP (sous théorie de ZFC) est-il dénombrable?

Salut,

Si on considère l'ensemble des énoncés : [tex](\exists x \in \mathbb N, x=i)_{i \in \mathbb R}[/tex]

on a pas un ensemble d'énoncé dénombrable, non ?

Cordialement.

Yassine

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Re : L'ensemble des énoncés de AP (sous théorie de ZFC) est-il dénombrable?

Bonjour,
A mon sens, la question est mal formulée.
Si je comprends bien, tu pose la question sur la cardinalité d'un certain ensemble, mais il faut qualifier cet ensemble.
Normalement, quand on définit un langage, on part des symboles suivants :
- connecteurs : $\wedge$, $\vee$, $\neg$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$
- Quantificateurs : $\forall$, $\exists$
- Une collection infinie (et dénombrable) de variables, qu'on peut noter $v_0$, $v_1$, $v_2$, ...
- Une collection infinie (et dénombrable) de constantes, qu'on peut noter $c_0$, $c_1$, $c_2$, ...
- Des fonctions prenant $m$ arguments (par exemple $Successeur(.)$ est une fonction à 1 argument dans AP)
- Des relations $n$-aires (par exemple, $x=y$ et $x \in y$ sont des relations binaires dans ZF)

Ensuite, on définit des règles permettant de construire des phrases avec ces symboles et aboutir à une théorie.
Avec ces définitions, l'ensemble des phrases qu'on peut constituer (union dénombrable d'ensembles dénombrables) est dénombrable.

Ici, dans ton exemple, la collection des constantes est non dénombrable. Ton titre suggère que tu es dans l'axiomatique de ZFC. Il me semble qu'il y a très peu de constantes pour définir ZFC.

Dattier

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Re : L'ensemble des énoncés de AP (sous théorie de ZFC) est-il dénombrable?

Bonjour,

@Yacine : merci pour ta réponse.

Bonne journée.