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Invité

Méthode de Monte Carlo par stratification

Bonjour,
Tout d'abord voici  le lien du cours sur lequel je m'appuie pour que vous puissiez vous y retrouver (le début est à la page 44/45).

Je suis face à une difficulté dans la compréhension de la méthode de monte Carlo basé sur l'échantillonnage stratifié.
Un cours m'a été donné mais je suis face à une certaine difficulté dans sa compréhension.
On souhaite intégrer une fonction f de densité v sur un ensemble D [tex]\int_{D}f(x)v(x)dx[/tex]. Soit X une variable aléatoire de densité v. Selon ce cours, la méthode fonctionne de la facon suivante:
-v admet le développement: [tex]v_1p_1+...+v_jp_j[/tex] où la somme des [tex]p_j[/tex] vaut 1 et les vj sont des densités de probabilité associées aux variables alétoires [tex]X_j[/tex]
-On introduit Q une variable aléatoire à valeurs dans [tex]1,2,...m[/tex] où m sera le nombre de strate que nous choisirons et qui seront tel que [tex]p_j=P(Q=j)[/tex] et qui correspondra à [tex]P(X \in D_j)[/tex]
De ce que j'ai compris de ce cours c'est qu'il faut générer des réalisations de Q pour savoir où générer nos variables aléatoires. Si Q=3 alors on généra une variable aléatoire [tex]X_3[/tex] dans la strate [tex]D_3[/tex]

L'approximation se fait en approximant l'intégrale de la fonction sur chaque strates de la même facon que la méthode de Monte Carlo classique (en utilisant la loi des grands nombres) puis de faire la somme multiplié par le coefficient [tex]p_j[/tex]
Ce qui donne une approximation  [tex]I=\sum_{j=1}^{m}p_jI_j[/tex] où les [tex]I_j[/tex] sont les approximations de l'intégrale sur les strates [tex]D_j[/tex].

Mes questions sont les suivantes: Ai-je compris le principe? Dans quel ordre je dois m'y prendre pour cette méthode?
Je dois choisir mes strates, puis les [tex]p_j[/tex] et en déduire les [tex]v_j[/tex]? Si oui de quel facon je dois faire pour calculer ces densité?

Je ne sais pas si j'ai été clair mais je vous remercie d'avance pour vos réponse

Yassine

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Re : Méthode de Monte Carlo par stratification

Bonjour,
Je te propose d'abord un point de vue un peu différent sur la technique de stratification par un exemple tiré d'un article.
Supposons un jeu où le joueur tire une balle au hasard d'une urne qui contient des balles de 4 couleurs différentes (rouge, bleu, vert et noir) en proportions égales, et qu'ensuite, le gain est également tiré au hasard, mais conditionnellement à la couleur (il y aura donc quatre densités $f_r$, $f_b$, $f_v$ et $f_n$).
Supposons maintenant que l'on veuille calculer l'espérance de gain d'un joueur. Avec la méthode classique MC, avec $n$ simulations, on simule la couleur $c_i$, puis, on fonction de la couleur, on va simuler le gain $g_i$ avec la densité $f_{c_i} \in \{f_r, f_b,f_v,f_n\}$ et enfin on calculera l'estimateur comme $\hat{G}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n g_i$.
L'inconvénient de cette approche est que la variance de l'estimateur peut être très grande en fonction des distributions $f_r$, $f_b$, $f_v$ et $f_n$ par exemple si le gain est très élevé pour la couleur verte mais très faible pour la couleur noire.
L'idée est alors de tirer profit de l'équi-distribution des boules dès le début :
$\mathbb{E}[G] = \mathbb{E}[\mathbb{E}(G|c)] = \mathbb{E}(G|c=r)\Pr(c=r)+\mathbb{E}(G|c=b)\Pr(c=b)+\mathbb{E}(G|c=v)\Pr(c=v)+\mathbb{E}(G|c=n)\Pr(c=n)$
Il faut donc calculer les différentes valeur $\mathbb{E}(G|c=x)$ avec la distribution $f_x$ pour $G$ et ensuite calculer la somme pondérée avec les probabilité $\Pr(c=x)$.

Donc en résumé, il faut arriver à partitionner l'espace de la variable aléatoire qu'on simule (l'équivalent des 4 couleurs dans mon exemple ou l'équivalent de ta variable $Q$ dans tes notations), ensuite il faut arriver à modéliser la distribution de la variable à intégrer, conditionnellement à être dans une des partitions (ce que j'ai noté $f_r$ pour la distribution conditionnellement au choix d'une boule rouge, ou ce que tu appelle "calculer l'intégrale dans la strate $D_j$) et ensuite on calcule la moyenne pondérée des probabilités des strates.