Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jeje19

Invité

systèmes linéaires d'équations

Bonjour à tous,

J'ai un exercice à faire pour la semaine prochaine où je dois résoudre et discuter le système linéaire suivant :

| x + ay + a²z + a³ = 0
| x + by + b²z + b³ = 0   
| x + cy + c²z + c³ = 0

j'ai commencé par supprimer les x des 2e et 3e ligne :

| x + ay + a²y + a³ = 0
| 0 +y(b-a) + z(b²-a²) + b³ - a³ = 0
| 0 + y(c-a) + z(c²-a²) + c³ - a³ = 0

A ce moment là, je bloque, je ne vois pas ce que je peux faire... Je sais qu'il faut la mettre en matrice et l'échelonner mais je n'avance pas...

Si quelqu'un pourrait m'aider, s'il vous plait...

Merci :)

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : systèmes linéaires d'équations

Bonjour,
Tu multiplies la deuxième équation par (c-a) et la troisième par (b-a) et tu fais la différence.
tu pourras ainsi éliminer y.

jeje19

Invité

Re : systèmes linéaires d'équations

Merci mais je trouve quelque chose d'encore plus compliqué :

| x + ay + a²z + a³= 0

| 0 + y(b-a)(c-a) + z(b²-a²)(c-a) + (b³ + a³ ) (c-a) = 0

| 0 + 0 + [z(c²-a²)(b-a) - z(b²-a²)(c-a)] + [(c³-a³) (b-a) - (b³ - a³)(c-a)] =0

Y a t-il un moyen de réduire tout ça? J'ai pensé à additionner L3 à L2 mais ça ne m'avance pas beaucoup... :/

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : systèmes linéaires d'équations

La dernière équation est de la forme $\alpha z + \beta = 0$. Il est alors facile de discuter de ses solutions en fonction des valeurs de $\alpha$...

jeje19

Invité

Re : systèmes linéaires d'équations

αz+β=0 ? Je ne me rappelle pas avoir vu ça dans mon cours... :/

C'est en rapport avec les complexes? C'est ce que j'ai trouvé en cherchant sur internet... Quand même pas une équation du 1er degré?

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : systèmes linéaires d'équations

Salut,

oui, du premier degré.
C'est ce qu'on appelle un système récursif : tu trouves $z$, puis $y$ et enfin $x$.
Une petite remarque pour la discussion : $(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
et bien entendu $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
A priori, c'est soluble.

Dernière modification par freddy (29-04-2017 09:48:34)

jeje19

Invité

Re : systèmes linéaires d'équations

Merci beaucoup !

Je trouve z = - ( c + b + a) donc je me mets à chercher y !

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : systèmes linéaires d'équations

Re,

c'est ok pour z !

jeje19

Invité

Re : systèmes linéaires d'équations

Super !

Pour y, j'ai (-c ( b+a) - ba) / (b-a) je pense que j'ai dû faire une erreur de calcul mais je ne trouve pas où...

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : systèmes linéaires d'équations

Salut,

je confirme, il y a une erreur.
Il ne doit pas y avoir de dénominateur ;-)

jeje19

Invité

Re : systèmes linéaires d'équations

Bonjour

Ah oui, autant pour moi, j'avais oublié le (b-a) au numérateur, ce qui me permet d'annuler, le dénominateur !
Je me retrouve donc avec bc + ba + ac ! ^^

Je me mets à calculer x, en espérant à avoir le bon résultat pour y !

jeje19

Invité

Re : systèmes linéaires d'équations

Avec y = bc + ba + ac, j'ai x = -abc, je me lance dans la vérification!

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : systèmes linéaires d'équations

Salut,

ça devrait être bon !

jeje19

Invité

Re : systèmes linéaires d'équations

Je confirme ! Toutes mes équations se vérifient avec ces solutions ! Merci beaucoup à vous deux !

Mais qu'entend mon prof par "discuter de ses solutions" ?

jeje19

Invité

Re : systèmes linéaires d'équations

*du système, pas des solutions

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : systèmes linéaires d'équations

Re,

dans tes calculs, as-tu eu besoin de faire certaines hypothèses pour les mener à bien ?
Si oui, il faut que tu regardes ce qu'il se passe dans le cas où chaque 'hypothèse faite ne serait pas satisfaite.
C'est ça, "discuter".

jeje19

Invité

Re : systèmes linéaires d'équations

Ah d'accord, merci !
En fait, c'était surtout de la réduction au début, puis calcul d'équation, mais il a fallu faire preuve d'astuce en utilisant les identités remarquables...

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : systèmes linéaires d'équations

Salut,

en réalité, tu n'as pas bien compris mon message.
Ta solution est OK ssi $a \ne b$, $a \ne c$ et $b \ne c$

Donc regarde maintenant ce qu'il en est si $a=b$ et $b \ne c$ par exemple, puis si $a = b = c$