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michelq

Invité

integrale à paramètre

Salut, pouvez vous m'aider s'il vous plait, je suis coincé sur cet exercice :

Soit f la fonction definie par : $f(x)=\int_{0}^{e^x-x}{\frac{e^{-tx^2}}{\sqrt{t(e^x-x-t)}}}\,dt$.
je veux vérifier que f est continue sur $R^*$.
on connait qu'une fonction est continue sur un intervalle I si et seulement si elle est continue sur tout compact de I.
Je vais utiliser cette équivalence pour prouver la contuinité de f et j'ai raisonné de la façon suivante :
Soit q, w deux réels tel que $qw>0$ et $q>w$ et soit u la fonction definie par $u(x)=e^x-x$ et on pose $F(x, t)=\frac{e^{-tx^2}}{\sqrt{t(e^x-x-t)}},$ Il est clair que pour tout $x \in R^*$, F(x,.) est integrab., positive et continue sur $]0;e^x-x[.$
puisque u est continue sur [w;q] alors, il existe M $\in R^*$ tel que pour tout $x \in [w;q], u(x)\leq M$.
Verifions la contuinite de f :
F est continue sur $[w;q] \times ]0;M[,$ qui est un compact de $R^2$, alors il existe M' tel que pour tout $(x,t) \in [w;q] \times ]0;M[$
$|F(x,t)|\leq M',$ puisque M' est positive, integrab et continue sur $]0;M[,$ alors F verifie l'hypothèse de domination sur $[w;q] \times ]0;M[$.

le raisonnement que j'ai fait est-il vrai ?

merci d'avance.

Yassine

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Re : integrale à paramètre

Bonsoir,
$[w,q]\times]0,M[$ n'est pas un compact de $\mathbb{R}^2$. Il est certes borné mais pas fermé.

michel1

Invité

Re : integrale à paramètre

Salut, puisque $]0,M[$ n'est pas un compact de R alors, $[w;q] \times ]0,M[$ n'est pas un compact de $R^2$, alors F n'est pas majoré par M' et donc, je pense qu'il faut vérifier l'hypothese de domination de la manière suivante :
pour tout $(x,t) \in [w,q] \times ]0,M[, |F(x,t)| \leq \frac{1}{\sqrt{t(M-t)}},$ car pour tout x dans $]w,q[,$ on a $u(x) \leq M,$ et $t \rightarrow
\frac{1}{\sqrt{t(M-t)}}$ est une fonction continue, integrab et positive sur ]0,M[.
Alors F verifie l'hypothese de domination sur $[w,q] \times ]0,M[$.

Alors dans ce cas le raisonnement est-il correcte?

Yassine

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Re : integrale à paramètre

Non, ce n'est pas correct :
Tu ne peux pas majorer une fraction en majorant le dénominateur !
Tu dois minorer $u(x)$ si tu veux majorer $\dfrac{1}{\sqrt{t(u(x)-t)}}$

michel1

Invité

Re : integrale à paramètre

pouvez vous m'aider, s'il vous plait, à minorer cette fraction? comment trouver une fonction g qui est integrab. et positif sur ]0;M[

Yassine

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Re : integrale à paramètre

Bonjour,
Je te propose de faire le changement de variable suivant : $u = \dfrac{t}{e^x - x }$, ce qui te permet de réécrire le dénominateur sous la forme $(e^x - x)\sqrt{u(1-u)}$.

michel1

Invité

Re : integrale à paramètre

Salut, en effectuant votre changement f sera definie par
$$f(x)=(e^x-x)\int_{0}^{1}{\frac{e^{-ux^2(e^x-x)}}{\sqrt{u(1-u)}}}du$$

plus generalement, je pense que si une fonction g est definie de la facon suivante :
$g(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}{h(x,t)}dt,$ alors on pose $w=\frac{t-u(x)}{v(x)-u(x)}$

donc $g(x)=(v(x)-u(x))\int_{0}^{1}{h(x,w(v(x)-u(x))+u(x)}dw$

et dans ce cas, on peut appliquer le theoreme de contuinite sous le signe $\int$

La premiere methode que j'ai proposé, peut-elle marcher sur ce genre d'integrale à parametre?

Yassine

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Re : integrale à paramètre

Bonjour,
Attention, c'est plutôt $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(e^x-x)}\int_{0}^{1}{\frac{e^{-ux^2(e^x-x)}}{\sqrt{u(1-u)}}}du$

Si $I\times J$ est un compact et que $h(x,t)$ est continue sur $I\times J$, alors $h(I\times J)$ est un compact et est donc bornée. Tu pourras donc borner $h(x,t)$ comme ça.

Michel1

Invité

Re : integrale à paramètre

Merci pour votre aide et votre explication, votre changement est excellent, en effet l'intervalle d'integration ne depend pas de x, et donc on peut etudier la contuinite, la derivabilité meme la limite (theoreme de convergence dominee par ex)