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Invité

Adhérence et espace totalement borné

Bonjour,

je cherche à montrer que l'adhérence d'un sous ensemble totalement borné d'un espace métrique est totalement borné.

Pour rappel, un sous ensemble E de X est totalement borné si pour tout e(epsilon) > 0, il existe x1,x2,..,xn tel que e C=(inclu ou égal) B(x1)U...UB(xn)
Par ailleurs, je sais que l'adhérence est le plus petit ensemble fermé contenant E.

J'avoue ne pas savoir du tout par où commencer..

Je vous remercie par avance de votre aide

Yassine

Membre

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Messages : 1 090

Re : Adhérence et espace totalement borné

Bonjour,
Je te donne une approche qui devrait marcher :
1- On se donne un recouvrement fini de $E$ par des boules ouvertes
2- On suppose un $x$ dans l'adhérence qui n'appartient à aucune boule
3- En choisissant correctement un certain $\alpha$ (penser à utiliser la distance maximale en $x$ et les $x_i$), on peut construire une boule ouverte autour de $x$ qui n'intersecte aucune autre boule et arriver donc à une contradiction ($x$ serait alors isolé).

Dernière modification par Yassine (10-02-2017 09:58:47)

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Adhérence et espace totalement borné

Bonjour,

  Dans une version un peu plus abstraite, tu devrais pouvoir déduire ce qu'il te faut des trois propriétés suivantes :
1. Une réunion finie de fermés est un fermé.
2. On a $\overline{A_1\cup\dots\cup A_n}\subset \overline{A_1}\cup\dots\cup\overline{A_n}$.
3. $\overline{B(x,\varepsilon)}\subset B(x,2\varepsilon)$.

F.