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Henri.qr

Invité

Limite d'une fonction

Bonjour, pouvez vous m'aider svp pour resoudre cette question:

Soit u(x), v(x), h(x,y) des fonctions. Je cherche à calculer la limite, à l'infini par ex, de $f(x)=\int^{u(x)}_{v(x)}{h(x,y)dy}.$
Que faut-il faire? Est ce qu'on le droit d'appliquer le th de convergence dominée? Si oui, comment? (car les bornes de l'integrale sont des fonctions de x)

Comme ex d'application, calculer la limite, à l'infini de $f(x)=\int^{x^3-3x+1}_{e^{x}-x}{\frac{dy}{\sqrt{(y+3x-x^3-1)(e^{x}-x-y)}}}.$

Merci d'avance

Yassine

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Re : Limite d'une fonction

Bonjour,
Le fait que les bornes dépendent de $x$ n'est pas un problème.
Si tu définis $\chi(x,y)=1$ si $y \in [u(x), v(x)]$ et $\chi(x,y)=0$ sinon, alors, par définition
$\displaystyle \int_{u(x)}^{v(x)} h(x,y)dy = \int_{\mathbb{R}} h(x,y)\chi(x,y)dy$

Donc, l'étude de la continuité de $\displaystyle x \mapsto \int_{u(x)}^{v(x)} h(x,y)dy$ peut se faire avec la convergence dominée en trouvant une fonction $g(y)$ intégrable telle que
$|h(x,y)\chi(x,y)| \le g(y)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour presque tout $y$.
Pour la lmite à l'infini, il faut faire un changement de variable $x \to \dfrac{1}{x}$ et étudier la continuité en $0$.