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tina

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produit de convolution

Bonjour,
dans mon cours sur le produit de convolution, on commence par le théorème de dérivation qui dit ceci:
Soit $T \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^p)$ et soit $\varphi \in \mathcal{E}(\mathbb{R}^{p+q})$.
L'application définie par
$$
f(y)=\langle T_x,\varphi\rangle_{\mathcal{E}'(\mathbb{R}^p),\mathcal{E}(\mathbb{R}^p)}
$$
($y$ est une variable, et $T$ une distribution par rapport à $x$)
est de classe $C^{\infty}(\mathbb{R}^q)$ (car $y \in \mathbb{R}^q)$
et on a
$$
\forall \alpha \in \mathbb{N}^q: D^\alpha f(y)= \langle T,D^\alpha_y \varphi \rangle$.
$$

Voilà, je suis un peu perdue. En fait, on commence par supposer que $\varphi \in \mathcal{E}^{p+q}$, puis dans le crochet de distribution on écrit $\mathcal{E}(\mathbb{R}^p)$, et ça veut dire quoi que $T$ est une distribution par rapport à $x$? S'il vous plaît. Et ma dérnière question, à quoi sert ce théorème?
Merci par avance.

Dernière modification par tina (02-02-2017 21:12:45)

Yassine

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Re : produit de convolution

Bonsoir,
Je pense qu'il faut que tu regarde ça sur un exemple.
On va prendre $p=q=1$ et $T=\delta_0$.
Donc, pour tout $\varphi \in C^\infty(\mathbb R)$, on a $\langle \delta_0, \varphi \rangle = \varphi(0)$

Soit maintenant $\psi \in C^\infty(\mathbb{R}^2)$. $\psi$ est une fonction à deux variables $\psi(x,y)$, et on ne peut donc pas appliquer $\delta_0$ à \psi$.

Soit maintenant un $y$ fixé, et posons pour tout $x$, $f(x)=\psi(x,y)$. Donc $f \in  C^\infty(\mathbb R)$, on a donc le droit d'appliquer $\delta_0$ à $f$ et on a $\langle \delta_0, f \rangle = f(0) = \psi(0,y)$.

Donc, pour chaque $y$, on peut définir l'application de $\delta_0$ à $\psi$, vue comme une fonction à une seule variable $x$.
On obtient donc une fonction, qui à chaque $y$, associe le nombre $\langle \delta_0, \psi(\bullet,y) \rangle = \psi(0,y)$.

Ce théorème est l'analogue de la dérivation des intégrales paramétriques. Sous certaines conditions, on a $\displaystyle \dfrac{\partial}{\partial y}\int f(x,y)dx = \int\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx$.
Ici, on peut inverser dérivation et crochet de dualité.