Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Manu

Invité

trouver une asymptote [Résolu]

Au secours!!!!!!!!!!

Bonjour à toutes et à tous,

J'ai foiré mon épreuve de math la semaine dernière. Par chance j'ai droit au rattrapage mardi prochain. En guise de révision je me suis dit que j'allais essayer de refaire l'examen de la semaine dernière. Mais voilà, je ne suis pas plus performant que le jour de l'exam. J'aurais une tonne de question à poser sur ce forum, mais le temps m'est compté désormais.

Voici l'un des problèmes que je rencontre :

Soit la fonction f définie par : f(x) = (x3 - 2x² -x +1) / x²

Pour déterminer les limites aux bornes du domaine de définition, c'était bon. Par contre, on me demande de préciser les équations des asymptotes éventuelles. Je pressens bien qu'il y a une asymptote oblique (vu les limites trouvées en +inf. et -inf). Mais je ne sais pas comment m'en sortir avec les formules suivantes :
f(x)-(ax+b) = 0
f(x) / x = a

Merci à toutes celles et ceux qui voudront bien m'aider. La tonne de bouquins que j'ai achetés et les gros volumes que j'ai reçus du CNED donnent des règles à apprendre mais sans vraiment expliquer les modes opératoires. A tel point que je me demande si les maths c'est vraiment mon truc. Toujours est il que je persévère. Je compte sur vous. Merci.

Manu

yoshi

Modo Ferox

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Re : trouver une asymptote [Résolu]

Bonjour,

Bah ! Pas de défaitisme, ce n'est que du calcul "bête et méchant"...
En principe, ton énoncé, comme à l'habitude, devait te prendre par la main pour t'aider...
A défaut de ceci, voilà quelques consignes pour te dépatouiller...
Alors d'abord f(x)-(ax+b) = 0 : le = me gêne beaucoup...
Moi je dirais que y = ax + b est l'équation de l'asymptote (ici oblique) à la courbe représentative de la fonction f, si et seulement si f(x) - (ax + b) tend vers 0 quand x tend vers l'infini...
A l'aide de cette définition, tu peux encore répondre à une autre question, en regardant le signe de f(x)-(ax+b) :
- si cette différence est positive, la courbe est au dessus de l'asymptote,
- si elle négative, c'est l'asymptote qui est au dessus de la courbe.

Ceci posé, cherchons l'équation de cette asymptote.
Elle est de la forme y = ax +b, ce qui signifie que tu dois pouvoir écrire :
[tex]f(x) = ax+b +\frac{c}{x^2}[/tex]
Reste à savoir si c est une constante ou bien si il y a encore une forme du type mx + p à la place de c... On met tout sur le même dénominateur :
[tex]f(x) = ax+b +\frac{c}{x^2}= \frac{ax^3+bx^2+c}{x^2}[/tex]

On voit donc que f(x) en fait s'écrit sous la forme :
[tex]f(x) = ax+b +\frac{cx+d}{x^2}=\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^2}[/tex]

Tu vas donc "identifier" tes numérateurs :
[tex]ax^3+bx^2+cx+d = x^3-2x^2-x+1[/tex]

Ce qui te donne : a = 1, b = -2, c = -1, d =1
[tex]f(x) = x-2 +\frac{-x+1}{x^2}[/tex]
et
[tex]f(x) - (x-2)= {-}\frac{x-1}{x^2}[/tex]

Limites de f(x) - (x-2) = limites de [tex]{-}\frac{x-1}{x^2}[/tex]
Quand x tend vers l'infini, le quotient tend bien vers 0, mais quand x tend vers +oo, le quotient tend vers 0 par valeurs négatives : la courbe est au dessous de l'asymptote ; et quand x tend vers -oo le quotient tend vers 0 par valeurs positives : la courbe est au dessus de l'asymptote...

Tu devais aussi t(apercevoir très vite de l'existence d'une "valeur interdite" x = 0 te donnant une deuxième asymptote, verticale celle-là...
Ca c'est une méthode générale...

Dans ce cas particulier (comme il n'y avait rien d'autre que x² au dénominateur) tu pouvais mettre en évidence ta forme ax + b de  cette façon :
[tex]f(x) =\frac{x^3-2x^2-x+1}{x^2}=\frac{x^3-2x^2}{x^2}+\frac{-x+1}{x^2}=\frac{x^2(x-2)}{x^2}+\frac{-x+1}{x^2}= x-2 +\frac{-x+1}{x^2}[/tex]

En outre, écrire  f(x)-(ax+b) = 0 revient à chercher l'abscisse des points où l'asymptote traverse la courbe :
[tex]{-}\frac{x-1}{x^2}=0\; soit\; x - 1 = 0 \; et \; x = 1[/tex]
Pour l'ordonnée, on prend y = x - 2 et on calcule ; y = 1 - 2 = - 1. Donc coordonnées de l'intersection : (1 ; -1) vérifiable sur le dessin...

Questionne donc, n'hésite pas !

@+

Manu

Invité

Re : trouver une asymptote [Résolu]

Waouh! Impressionnant. Merci à toi Yoshi. Tu as dû passer un certain temps pour me mettre tout cela par écrit et je t'en suis très reconnaissant.

Je pense que j'ai compris environ 75% de ta démonstration. Cependant il reste des choses que je n'ai absolument pas captées.

Tout d'abord, lorsque tu écrit f(x) = ax + b + c/x², je ne comprends pas d'où sort ce c/x². De même que je ne saisis pas pourquoi plus loin tu ajoute une constante d. Je ne said pas d'où elle provient.

Pour le reste, je crois que j'arrive à suivre, même si bien sûr je n'aurais pas été capable de le faire par moi-même. Ta démonstration est éblouissante et j'en suis paf! Je vais me l'imprimer et l'analyser de fond en comble. Merci encore.

Manu

P.S. comment fais-tu pour écrire les équations ? Je crois que c'est le Code Latex mais je n'ai trouvé aucune explication. C'est quand même plus lisible qu'avec les caractères normaux, genre slash et compagnie.

john

Membre actif

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Messages : 543

Re : trouver une asymptote [Résolu]

Hello,
Voici un autre son de cloche, car, comme dit le proverbe "2 cloches sonnent plus fort qu'une seule". Ne cherche pas de contradiction, il n'y en a pas. Pour latex, on est loin du compte mais yoshi va se faire un plaisir de... te renvoyer à l'un de ses nombreux messages.
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La rédaction de ton message laisse effectivement penser que tu serais plutôt un littéraire, ce qui signifie que tu préfères les mots aux images.
Or, tout le début des mathématiques est fondé sur des images, même si la tendance est de chasser les dessins.
J'ai compris beaucoup de choses en math., quand je me suis aperçu que les équations cachaient bien souvent des images (dessins) très simples. De plus, ces images m'aidaient à mémoriser tout où du moins à retrouver les relations très rapidement. Encore fallait-il prendre le temps de décoder ces relations.
Exemple
-------------
Une relation y = f(x) a 2 interprétations possibles :
1) Elle te permet de calculer la valeur de y lorsqu'on te donne la valeur de x. Cette interprétation peut être qualifiée de "locale".
2) Elle définit la forme d'ensemble d'une courbe (un graphe si tu préfères) qui s'étend dans ton cas de -oo à +oo. C'est une interprétation "globale".
Si tu te limites à l'interprétation locale, il est difficile de comprendre la signification des relations :
a) limite (qd x -> + ou -oo) [f(x)-(ax+b)] = 0
b) limite (qd x -> + ou -oo) [f(x) / x] = a
et donc tu les considères comme des formules de plus, à apprendre par coeur.
Pour la droite y = ax + b, ça ne doit pas te poser de pb., car tu imagines facilement une droite dont tu peux faire varier la pente en modifiant le coefficient a et la "hauteur" (l'abscisse à l'origine) en modifiant le coefficient b.
Dans le cas d'une asymptote, a) traduit le fait qu'une forme f(x) étant donnée, tu lui soustrais une autre autre forme, la droite ax+b. Essaie d'imaginer globalement ce qu'il advient de f(x)...
Si tu peux trouver des coefficients a et b tels que, très loin de l'origine des axes (en + ou -oo), les deux formes soient pratiquement confondues alors la droite ax+b est asymptote de f(x).
De la même manière, essaie d'interpréter b).
Concrètement, pour trouver l'asymptote, il faut exprimer la différence f(x)-(ax+b) :
(x3 - 2x² -x +1) / x² - (ax+b) = (1-a).x - (2+b) -1/x + 1/x²
Cette différence doit tendre vers 0 quand x devient très grand, ce qu'on écrit :
limite (qd x -> + ou -oo) [(1-a).x - (2+b) -1/x + 1/x²] = 0
On étudie ensuite chaque terme de la somme... qui devient nulle si a=1 (car le terme (1-a).x est tjs nul) et si b=-2 (car le terme (2+b) est tjs nul).

Tout ce bla-bla n'engage que john et c'était juste parce qu'il n'avait rien à dire ce matin.
A+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : trouver une asymptote [Résolu]

Bonjour,

En ce qui me concerne, je n'ai qu'un mot à dire : bientôt la quille !
Bon, ce cri du coeur étant poussé, je reviens à nos moutons...

J'approuve totalement la démarche de John !!! Si ! Si !
J'ai toujours constaté que nos "chères têtes blondes" étaient souvent bloqués par des mots... vides de sens. J'ai dit redit et répété ( qu'un problème de Maths, c'était une pièce de théâtre et qu'on pouvait le jouer (avec un peu d'imagination quand même...), ce que j'ai fait régulièrement et tout de suite (mais pas avec assez de succès -à mon goût- hélas), les choses devenaient plus claires.
Mais hélas, nolens volens (ciel, du latin !), il faut pourtant bien savoir ses définitions (et théorèmes) ainsi que celles (ceux) qui lui sont collatérales (collatéraux) lesquelles notions traînent à leur tour....

Je reviens donc à ma démonstration.
Point n° 1. Code Latex. "Chiant" au possible au début parce que pas WYSIWYG (What You See Is What You Get)... après on s'y fait !
Sur ce forum toute formule mathématique s'encadre entre deux "balises", une d'ouverture, une de fermeture [tex ].... [/tex ] sans les espaces avant le crochet fermant.
Ainsi :
[tex ]f(x) =\frac{x^3-2x^2-x+1}{x^2}[/tex ]
donne si j'enlève les espaces : [tex]f(x) =\frac{x^3-2x^2-x+1}{x^2}[/tex]
Pour en savoir plus : http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

2. Pourquoi une constante c ?
Si je prends la fraction [tex]{7 \over 2}[/tex], il doit être clair que comme 7 = 2 * 3 + 1, alors [tex]{7 \over 2} = \frac{3 \times 2 +1}{2} =\frac{3 \times 2}{2}+{1 \over 2}=3+{1 \over2}{[/tex].
Par contre [tex]{8 \over 2} = 4[/tex] parce que le numérateur est un multiple du dénominateur...

Dans le cas de ton exercice, on a [tex]f(x)=\frac{x^3-2x^2-x+1}{x^2}[/tex]
Bon si on reprend l'analogie avec la fraction 7/2, tu dois constater que le dénominateur ne disparaît pas qu'il va rester un "petit quelque chose" au numérateur, qui selon les cas peut être une constante c (un nombre, quoi) ou bien un résidu, binôme du 1er degré, du type cx +d
Le numérateur  [tex]x^3-2x^2-x+1[/tex] n'est pas un multiple de x², tu ne peux pas factoriser ledit numérateur en prenant x² comme facteur commun : le numérateur est composé de 4 termes x^3 (= x² * x) ; -2x² (=-2 * x²) ; -2x et +1 : il n'y a pas la présence de  x² dans ces deux derniers termes (on pourrait quand même factoriser avec un "tour de passe-passe", mais sans objet ici. Ceci pour les puristes qui me liraient).
Alors, je t'ai d'abord montré (et j'ai eu tort de croire que ça éclairerait ma démarche) que le "petit quelque chose" ne pouvait pas être une constante :
[tex]f(x) = ax+b +\frac{c}{x^2}= \frac{ax^3+bx^2+c}{x^2}[/tex] on met tout sur le même dénominateur et on constate que par rapport à la forme d'origine s'il y a bien des x^3, des x² et une constante, il manque le x.., d'où ma conclusion que le résidu était en fait du type cx + d... normalement, les problèmes sont conçus pour éviter ce genre de discussions, mais en l'absence de certitude sur ce que disait exactement l'énoncé....

Concrètement, pour trouver l'asymptote, il faut exprimer la différence f(x)-(ax+b).

Je vais essayer d'être plus johnique que John... ;-)
f(x) c'est l'ordonnée du point d'abscisse x, ax + b aussi...
Donc tu prend le graphique que j'ai donné, tu traces une verticale qui te donne deux points d'intersection, un avec la droite d'équation y = ax + b, l'autre avec la courbe, et tu traces en couleur (pour mieux le voir) le segment compris entre les deux points...
Et bien, on dira que la droite est une asymptote (en +oo) quand, en en augmentant x sans arrêt (qd x --> +oo), la longueur de mon segment diminue, diminue, diminue (cette "longueur" --> 0), la droite et la courbe se rapprochant de plus en plus l'une de l'autre, sans jamais se toucher.
f(x)-(ax + b) c'est justement la différence des ordonnées, la "longueur" de mon segment...

Voilà...

A ta disposition

@+

PS
Pierre Dac, je crois, un humoriste de mon temps avait eu cette formule << Ce n'est pas parce qu'on a rien à dire qu'il faut fermer sa g... >>
C'était  le clin d'oeil du jour (à destination de John)...

[EDIT] Quelques heures (et une idée) plus tard...
Préfères-tu que je t'explique ça comme ça, en partant de ta fraction pour poursuivre l'analogie avec le traitement de 7/2 :
[tex]f(x) =\frac{x^3-2x^2-x+1}{x^2}=\frac{x^2(x-2)-x+1}{x^2}=\frac{x^2(x-2)}{x^2}+\frac{-x+1}{x^2}=x-2+\frac{-x+1}{x^2}[/tex]  ?

Manu

Invité

Re : trouver une asymptote [Résolu]

Bonsoir,

encore bravo à toi Yoshi. Et compliments également à John.

Peut-être ai-je effectivement plus d'adresse à manier les expressions verbales qu'à comprendre les expressions mathématiques. Néanmoins, ma volonté est grande et mon récent intérêt pour les maths grandissant. Aussi me suis-je assigné pour tâche d'accroître mon savoir en la matière.

En terme de visualisation, je n'ai pas trop de problème pour voir à quoi ressemble un fonction carré, une fonction cube, une fonction valeur absolue, pour faire la différence entre fonctions paires et impaires, etc. Parlant des asymptotes, qu'elles soient horizontales, verticales ou obliques, je saisis le principe. Mon vrai problème c'est traduire ce que je vois et comprends sur le graphique en une expression mathématique. Mais je pense qu'avec de l'entraînement et des exercices à répétition, ça finira bien par rentrer. Il me faut aussi être beaucoup rigoureux dans l'emploi des termes mathématiques.

J'ai bien failli ne pas comprendre ton explication, John, lorsque tu aboutis à (1-a).x - (2+b) -1/x + 1/x².
[tex]\left(1-a\right)x-\left(2+b\right)-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}[/tex]
Heureusement, l'explication finale de Yoshi (quelques heures et une idée plus tard...) m'a bien éclairé. Vos deux réponses sont parfaitement complémentaires et je vous félicite pour ce bon travail d'équipe.

Merci encore à vous deux. Mon rattrapage de math est pour demain, et j'ai encore à réviser mes formules magiques pour les primitives, les logarithmes népériens et les dérivées.

Manu

Manu

Invité

Re : trouver une asymptote [Résolu]

Pas encore au point mon da latex code...

[tex]\left(1-a\right)\times\left(2+b\right)-\frac{1}{x}-\frac{1}{x²}[/tex]

Manu

Invité

Re : trouver une asymptote [Résolu]

dernier essai pour aujourd'hui...  ;-)

$\left(1-a\right)x\left(2+b\right)-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$

Manu

Invité

Re : trouver une asymptote [Résolu]

C'est promis j'arrête d'encombrer le forum avec mes âneries...

[tex]left(1-a\right)x\left(2+b\right)-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}[/tex]

[EDIT]
C'est plutôt
[tex]\left(1-a\right)x-\left(2+b\right)-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}[/tex]
Il te manquait l'antislash devant left, soit pas grand chose...
Garde \left et \right pour des parenthèses hautes (pour des fractions par exemple)...

Tu ne t'en sors pas si mal, pour quelqu'un qui se lance là-dedans... Je t'avais prévenu : au début, c'est prise de tête !

C'est très bien de vouloir comprendre : c'est bien plus simple de retenir comment, quand on sait pourquoi !

Donc, ne te gêne pas, questionne ! Pas d'inhibition surtout, la technique américaine dite "brain storming" a du bon !

Yoshi

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 404

Re : trouver une asymptote [Résolu]

Bonjour,

J'ai modifié le code de ton message initial...
Ici ce n'est pas $ mais [tex ]  qu'on utilise (sans l'espace)...
Tu es dans de bonnes dispositions d'esprit... même si ton bac est passé, tu peux revenir à la charge quand tu veux !

@+