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mina

Invité

comment

salut , comment prouver q'une suite faiblement convergente est bornée dans un esace de banach  et merci

Roro

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Re : comment

Bonsoir,

C'est une conséquence d'un théorème de Banach–Steinhaus (principe de borne uniforme) qui dit que
[tex]\Big[ \forall x\in E, ~ \sup_i \| T_i(x) \| < +\infty  \Big] \quad \Longrightarrow \Big[ \sup_i \|| T_i \|| < +\infty \Big][/tex]
où [tex](T_i)_i[/tex] est une famille d'opérateurs linéaires continus entre deux espaces de Banach.

Tout ça est très bien écrit dans le bouquin de Haïm Brezis : Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (ou l'équivalent en français).

Roro.

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

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Re : comment

Bonsoir,
Il me semble que la démonstration utilise le théorème de Banach-Steinhaus (ici sur Bibm@ath)
Je ne connais plus les détails. L'idée est de partir de la suite $(x_n)$ de l'espace $X$ et de la plonger dans le double dual $X^{**}$ de l'espace initial $X$. On obtient ainsi une suite de formes linéaires sur $X^*$ qui converge en chaque point de $X^*$, ce qui permet d'appliquer le dit théorème.