Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mario00

Invité

developpement limite

Bonsoir, pouvez vous m'expliquer s'il vous plait:

On considere la fonction f, qui est definie au voisinage de 0 :

$f(x)=\int_{0}^{+inf}{g(x,t)dt}$ où g est une fonction definie sur $I\times [0;+inf[$ et integrable sur [0;+inf[.

Je veux former le developpement limite de f au voisinage de 0.

Pouvez vous m'expliquer pourquoi il suffit de faire le developpement limite en 0, par rapport a x, de g(x,t) ??

et si on note P la partie reguliere de ce DL, P doit-elle etre integrable sur [0;+inf[ ?

je pense que la donne d'un ex va faciliter l'explication, je vais considerer:

$f(x)=\int_{0}^{+inf}{\frac{x+3t}{x^2t^3+1}}dt$

je veux former un DL5(0) de f, pour cela, faut-il faire un DL5(0) de $\frac{x+3t}{x^2t^3+1}$ par rapport à x puis integrer?

merci d'avance

Fred

Administrateur

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Re : developpement limite

Bonsoir
  Ce n'est pas suffisant. Ton reste sera une fonction de t. Sans autre information rien ne te dit qu'il va être intégrable ni que son integrale va rester négligeable devant x5. Il faut que tu contrôles ce reste.

F.

Yassine

Membre

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Re : developpement limite

Bonsoir,
Avec le théorème de Taylor, on sait que si $f(x)$ est dérivable $n$ fois en $x_0$, alors elle admet un DL d'ordre $n$ en $x_0$.
Il s'agit donc de vérifier la dérivabilité de $f$, ce qui revient à pouvoir dériver sous le signe somme. Donc, selon la fonction $g$, il sera possible d'inverser dérivée et intégrale (voir ici sur Bibm@th pour les conditions).
Pour la dérivé première, tu as $f'(x)=\int \dfrac{\partial g}{\partial x}(x,t)dt$
Donc, modulo les conditions d'inversions dérivée/intégrale, ça revient bien à ce que tu dis.

Mario00

Invité

Re : developpement limite

Salut, alors il faut verifier que f est de classe $C^n$ puis on peut faire un DL par rapport a x, mais le reste, pose-t-il un prob comme Fred a dit?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : developpement limite

Yassine a raison. Ainsi rédigé cela fonctionne.

Mario00

Invité

Re : developpement limite

Merci