Suite difficile!

soso1 · 25-12-2016 20:00:34

Exercice d'approfondissement sur les suites Bonne fêtes de fin d'année

On considère la suite de nombre rééls de terme général (Un) défini par:

[tex]{ u }_{ n }=\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 2 }{ { 2 }^{ 2 } } +\frac { 3 }{ { 3 }^{ 3 } } +\frac { ... }{ ... } +\frac { n }{ { 2 }^{ n } }[/tex] , [tex]n\ge 1[/tex]

Question 1 Montrer que la suite (Un) pour[tex]n\ge 1[/tex] ,strictement croissante.

Question 2 Montrer que pour tous entien n, [tex]n\ge 1[/tex]: [tex]2{ u }_{ n+1 }-{ u }_{ n }=\frac { { 2 }^{ n+1 }-1 }{ { 2 }^{ n } }[/tex]

Question 3 En déduire que la suite (Un)[tex]n\ge 1[/tex] est majorée

Question 4 Montrer que la suite (Un)[tex]n\ge 1[/tex] est convergente et calculer sa limite.

Question 1

la suite (Un) correspond à une progression de terme positif ,on peut alors considérer une somme[tex] { u }_{ n }=\sum _{ n\ge 1 }^{ n }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } } } \quad \\[/tex]
on peut déduire alors:
[tex]\ { u }_{ n+1 }=\frac { n+1 }{ { 2 }^{ n+1 } } +{ u }_{ n }= \left( \sum _{ n\ge 1 }^{ n }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } } } \right) +\frac { n+1 }{ { 2 }^{ n+1 } } \\ [/tex]

[tex]\\ { u }_{ n+1 }-{ u }_{ n }=[/tex] [tex]\left( \sum _{ n\ge 1 }^{ n }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } } } \right) +\frac { n+1 }{ { 2 }^{ n+1 } } -\left( \sum _{ n\ge 1 }^{ n }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } } } \right) =\frac { n+1 }{ { 2 }^{ n+1 } } >0\\[/tex]

En effet, [tex]\\ n\ge 1[/tex] la quantitée [tex]\frac { n+1 }{ { 2 }^{ n+1 } } >0\quad \quad[/tex].on déduit alors[tex]{ u }_{ n+1 }>\>{ u }_{ n }[/tex]. Ce qui traduit que la suite(Un) est strictement croissante.

Question2

Du résultat précédent,on tire [tex]{ (2u }_{ n+1 }-{ u }_{ n })={ 2(u }_{ n+1 }-{ u }_{ n })+{ u }_{ n }[/tex] de plus,le terme[tex]\frac { n+1 }{ { 2 }^{ n+1 } }[/tex] est un réel de la suite construite d'ailleurs il est également équivalent à:

il vient :[tex]{ u }_{ n+1 }-{ u }_{ n }=[/tex][tex]\left[ \left( \sum _{ n\ge 1 }^{ n+1 }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } } } \right) -\left( \sum _{ n\ge 1 }^{ n }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } } } \right) \right][/tex]=[tex]\frac { n+1 }{ { 2 }^{ n+1 } }[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]2\left[ \left( \sum _{ n\ge 1 }^{ n+1 }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } } } \right) -\left( \sum _{ n\ge 1 }^{ n }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } } } \right) \right] +\left( \sum _{ n\ge 1 }^{ n }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } } } \right)[/tex]=[tex]\sum _{ n\ge 1 }^{ n+1 }{ 2\frac { n }{ { 2 }^{ n } } } -\sum _{ n\ge 1 }^{ n }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } } }[/tex]=[tex]\sum _{ n\ge 1 }^{ n+1 }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n-1 } } } -\sum _{ n\ge 1 }^{ n }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } } }[/tex]

ainsi

[tex]\left( \frac { 1 }{ { 2 }^{ 0 } } +\frac { 2 }{ { 2 }^{ 1 } } +\frac { 3 }{ { 2 }^{ 2 } } ...\frac { n }{ { 2 }^{ n-1 } } +\frac { n+1 }{ { 2 }^{ n } } \right) -\left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 2 }{ { 2 }^{ 2 } } +\frac { 3 }{ { 2 }^{ 3 } } ...\frac { n }{ { 2 }^{ n } } \right) \\[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\left( \frac { 1 }{ { 2 }^{ 0 } } -\frac { 1 }{ { 2 }^{ 1 } } \right) +....\left( \frac { n }{ { 2 }^{ n-1 } } -\frac { n }{ { 2 }^{ n } } \right) +\left( \frac { n+1 }{ { 2 }^{ n } } -0 \right)[/tex]
....

les Calculs sont interminables! je suis très proche de la relation il me manque tous le temps un réél.Ya t'il une astuce svp pour éviter tous ces calculs ?

[tex]Question3[/tex]

Je suppose que la formule de la question précédente est vraie,-on a alors pour tous n,[tex]n\ge 1[/tex] [tex]2 { u }_{ n+1 }-{ u }_{ n }>0[/tex]

On déduit: [tex] 2{ u }_{ n+1 }-{ u }_{ n }-\left( { u }_{ n+1 }-{ u }_{ n } \right) =\frac { { 2 }^{ n+1 }-1 }{ { 2 }^{ n } } -\frac { \left( n+1 \right) }{ { 2 }^{ n+1 } } \\[/tex]

[tex] \Leftrightarrow \\[/tex]

[tex]{ u }_{ n+1 }=2-\frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } -\frac { n }{ { 2 }^{ n+1 } } -\frac { 1 }{ { 2 }^{ n+1 } }[/tex]

[tex]{ u }_{ n+1 }=2-\left[ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } +\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } +\left( \frac { n }{ 2 } \right) \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } \right][/tex]

[tex]{ u }_{ n+1 }=2-\left[ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } \right] \left( \frac { n+1 }{ 2 } +1 \right)[/tex]

On déduit:

[tex]{ u }_{ n+1 }=2-\left( \frac { n+3 }{ { 2 }^{ n+1 } } \right) <2\\[/tex]

[tex]{ u }_{ n+1-1 }=2-\left( \frac { n-1+3 }{ { 2 }^{ n+1-1 } } \right) \\ [/tex]

On déduit:

[tex]{ u }_{ n }=2-\left( \frac { n+2 }{ { 2 }^{ n } } \right) <2[/tex]

En effet l'hypothèse de départ nous impose [tex] n\ge 1[/tex] ce qui implique que [tex]2>\left( \frac { n+3 }{ { 2 }^{ n+1 } } \right) \\[/tex].La suite [tex]{ u }_{ n+1 }[/tex] est majorée par 2,de la même manière [tex]{ u }_{ n }[/tex] est majorée par 2

[tex]Question 4[/tex]
La suite (Un) croit et en plus celle ci est majorée par un réel d 'après le cours elle converge!

[tex]\lim _{ n\rightarrow \infty }{ (u } _{ n) }=\lim _{ n\rightarrow \infty } 2-\left( \frac { n+2 }{ { 2 }^{ n } } \right) =\lim _{ n\rightarrow \infty } 2-\lim _{ n\rightarrow \infty } \frac { n }{ { 2 }^{ n } } -\lim _{ n\rightarrow \infty } \frac { 1 }{ { 2 }^{ n-1 } } =2[/tex]

En effet,quelque soit n [tex],{ 2 }^{ n }>n[/tex] les termes dominés par les exponentielles tendent vers 0.La suite (Un) tends vers 2

yoshi · 26-12-2016 09:53:38

Salut soso,

Et bonnes fêtes aussi.

A la réflexion, il y a quelque chose de bizarre dans l'énoncé de ta suite...
En effet, tu écris :
[tex]u_n=\frac {1}{2} +\frac{2}{2 ^2} +\frac{3}{3^3} +\frac { ... }{ ... } +\frac{n}{2^n}[/tex]

Ce ne ne serait pas plutôt :
[tex]u_n=\frac {1}{2} +\frac{2}{2 ^2} +\frac{3}{2^3} +\frac { ... }{ ... } +\frac{n}{2^n}[/tex] ??

Question 1. RAS... (mais tu t'en doutais !)
Question 2. Je vais regarder...

@+

yoshi · 26-12-2016 10:18:58

Re,

Bon je prends ton calcul par un autre bout :
[tex]2u_{n+1}-u_n=u_{n+1}+(u_{n+1}-u_n)[/tex]
Or tu as établi que [tex]u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{2^{n+1}}[/tex]
Donc, il vient :
[tex]2u_{n+1}-u_n=\frac {1}{2} +\frac{2}{2 ^2} +\frac{3}{2^3} +\cdots +\frac{n-1}{2^{n-1}}+\frac{n}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}[/tex]
La somme des 2 derniers termes me donne :
[tex]\frac{n+1}{2^{n+1}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{2(n+1)}{2^{n+1}}=\frac{n+1}{2^n}=\frac{n}{2^n}+\frac{1}{2^n}[/tex]
Je remplace :
[tex]2u_{n+1}-u_n=\frac {1}{2} +\frac{2}{2 ^2} +\frac{3}{2^3} +\cdots +\frac{n-1}{2^{n-1}}+\frac{n}{2^n}+\frac{n}{2^n}+\frac{1}{2^n}[/tex]

De la même façon, je somme :
[tex]\frac{n}{2^n}+\frac{n}{2^n}=\frac{2n}{2^n}=\frac{n}{2^{n-1}}=\frac{n-1+1}{2^{n-1}}=\frac{n-1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n-1}}[/tex]
Que je remplace :
[tex]2u_{n+1}-u_n=\frac {1}{2} +\frac{2}{2 ^2} +\frac{3}{2^3} +\cdots +\frac{n-1}{2^{n-1}}+\frac{n-1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}[/tex]

[tex]2u_{n+1}-u_n=\frac {1}{2} +\frac{2}{2 ^2} +\frac{3}{2^3} +\cdots +\frac{n-2}{2^{n-2}}+\frac{n-2}{2^{n-2}}+\frac{1}{2^{n-2}}+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}[/tex]

Et à la fin, je vois apparaître les derniers termes de la somme des d'une suite géométrique simple...
Je n'ai pas continué les calculs mais je pense que ça devrait aboutir !

La suite plus tard

@+

freddy · 26-12-2016 12:59:52

Salut,

je m'immisce puis disparais tout aussi vite.

Tout d'abord, c'est un sujet très difficile, sans conteste. Etablir la limite de cette suite (qui est en réalité une série numérique) est assez compliquée.

Ensuite, attention aux notations, chère soso1 : [tex]u_n=\sum\limits_{p \ge 1}^n \frac{p}{2^p}[/tex]
et non pas ce que tu as écris où tu as tout mélangé ...

Bye et bonnes fêtes itou !

soso1 · 26-12-2016 13:47:32

Bonjour,,

@Yoshi j'ai fais de cette manière aussi en cassant toutes les fractions, après n-2 on tourne en rond:)enfin en tous cas pour moi les calculs ne s arretent jamais.En passant par les sommes j approche le résultat il me faut un 2 en facteur pour retrouver la relation. merci et bonne fête a toi aussi.
@freddy, eh ben je confirme l exercice est vraiment dure, pour la notation c est sympa j 'ai appris quelques chose aujourd’hui .Ce n 'est pas bête ,c est p au départ=n a l 'arrivé on le fait du fait que cette variable est muette?Pour (Un) à un moment donée, j ai du faire un décalage d indice pour retrouver une expression explicite .La limite ne m'a posée de problème enfin j espere ne pas me gourée
Bonne fêtes :)

Yassine · 26-12-2016 15:12:51

Comme freddy, je m'immisce puis disparais ;-)
Ecrire $2^{n+1}u_{n+1} - 2^{n}u_{n}$, puis faire un changement d'indice, ça devrait être immédiat après.

Bonne fêtes (for what it worth)

soso1 · 26-12-2016 20:31:23

Merci Yassine et bonnes fetes a toi aussi, tu as réussi simplement en factorisant, encore fallait il le voir!bravo. j' essaierai demain cette astuce ceci étant dis je me suis lancée dans des calculs spatiaux,:) j ai reussie!!! Yoshi m'as mise sur la voie en parlant de suite géométrique!

En partant de ma somme et après avoir soustrait les quantitée entre elle :-

[tex]=\frac { 1 }{ { 2 }^{ 0 } } +\frac { 1 }{ { 2 }^{ 1 } } +\frac { 1 }{ { 2 }^{ 2 } } ....+\frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } \\
[/tex]

[tex]=1+{ 2 }^{ -1 }+{ 2 }^{ -2 }+{ 2 }^{ -3 }...+{ 2 }^{ -n }\\[/tex]

par changement de variable:[tex]a={ 2 }^{ -1 }\\[/tex]

les termes son positifs,la fallait voir que cette somme finissait par n .ce qui revient a n+1dans la formule.

[tex]\frac { \quad 1-{ a }^{ n+1 } }{ 1-a } =1+a+{ a }^{ 2 }+{ a }^{ 3 }+{ a }^{ 4 }..+{ a }^{ n }\\[/tex]

[tex]2{ u }_{ n+1 }-{ u }_{ n }=\frac { 1-{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ n+1 } }{ 1-\frac { 1 }{ 2 } } =\frac { 1-\frac { 1 }{ { 2 }^{ n+1 } } }{ \frac { 1 }{ 2 } } =\frac { 2\left( 1-\frac { 1 }{ { 2 }^{ n+1 } } \right) }{ 1 } =2-\frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } =\frac { { 2 }^{ n+1 }-1 }{ { 2 }^{ n } } !!\\[/tex]

la raison c est 1/2.

yoshi · 26-12-2016 20:58:41

Bonsoir,

Quand j'ai vu que tu as dit avoir essayé ma proposition sans succès, j'ai repris et je suis bien arrivé à
[tex]1+\frac 1 2 +\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}[/tex]
j'étais bien sûr que ça finissait comme ça et j'avais raison...
Dans ce cas précis; le changement de variable t'a servi à quoi ? A visualiser la somme des termes de la suite géométrique de 1er terme 1 de raison [tex]\frac 1 2[/tex]... Mais ce n'est même pas nécessaire.
Par contre, je regarderai aussi l'idée de Yassine demain : elle m'intrigue...
Quand j'aurai vu, je chercherai comment on aurait pu (dû) avoir cette idée...

@+

soso1 · 26-12-2016 21:19:17

Bonsoir, @yoshi.
OUI,
Mais moi je me suis égarée dans cette montagne de calculs,tu sais fallais y arriver jusqu'a jusqu'a n-2... sans se tromper ,en plus en décomposant et en manipulant des puissances.ta formulation est plus que juste d'ailleurs avc les sommes à un moment donné j arrive exactement au meme ecrit à n-1 si mes souvenirs son bon.
Merci pour l astuce des suite geo,,

@+

freddy · 27-12-2016 06:15:27

Salut,

@yoshi : l'idée de Yassine s'inspire de la méthode générale d'étude de la série de terme général [tex](n\times q^n)[/tex] avec [tex]|q | \lt 1[/tex] en évitant d'utiliser la technique "primitive/dérivée", car le terme de général de cette série peut se voir comme la dérivée d'un terme de la forme [tex]x^n[/tex] modulo un petit habillage ;-)

Yassine · 27-12-2016 10:28:19

Salut freddy,
ça aurait pu être ça, mais ici, c'est beaucoup plus simple que ça.
En regardant le membre de droite de l'égalité demandée ($\dfrac{2^{n+1}-1}{2^n}$), j'ai vu que le numérateur correspondait à la somme de la série géométrique de raison $2$. Donc, en multipliant par $2^n$ l'égalité demandée, le membre de gauche allait être forcément une série géométrique ! Et en effet, en ajustant les indices, la différence se simplifie.

soso1 · 28-12-2016 12:13:44

Bonjour,tous le monde.

Alors finalement les dernières questions sont elle juste?

Merci.

yoshi · 28-12-2016 20:53:53

Salit,

Oui.
Un point de détail pour la majoration.
La définition dit :
Une suite ([tex]u_n[/tex]) est dite majorée si [tex]\forall n \in \mathbb{N},\;\exists M \in \mathbb{R},\; u_n \leqslant M[/tex].
Inférieur ou égal et non strictement inférieur...

Deux ou trois points de détail pour la Q4.
Tu écris :
[tex]\lim\limits_{n\to \infty} u_n=\lim\limits _{n\to \infty} 2-\lim_{n\to \infty} \left(\frac{n+2}{2^n}\right) =\lim\limits _{n\to \infty } 2-\lim _{n\to \infty} \frac{n}{2^n}-\lim\limits _{n\to \infty} \frac {1}{2^{n-1}}=2[/tex]

* A quoi ça sert d'écrire [tex]\lim\limits_{n \to \infty} 2[/tex] à part enfoncer une porte ouverte ?
[tex]\lim\limits _{n\to \infty} u_n=\lim\limits _{n\to \infty} \left(2-\left(\frac{n+2}{2^n}\right)\right) = 2-\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{n+2}{2^n}\right)=2-\lim\limits _{n\to \infty} \frac{n}{2^n}-\lim\limits _{n\to \infty} \frac {1}{2^{n-1}}=2[/tex]
suffit.

* En outre, tu peux écrire directement :
[tex]\lim\limits _{n\to \infty} u_n=\lim\limits _{n\to \infty} \left(2-\left(\frac{n+2}{2^n}\right)\right) = 2-\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{n+2}{2^n}\right)=2-\lim\limits _{n\to \infty} \frac{n}{2^n}=2[/tex]
parce que lorsque n tend vers l'infini, 2 est négligeable devant n, donc n+2 est équivalent à n...

@+

freddy · 28-12-2016 21:39:36

Salut,

et pour la Q3, on a [tex]2u_{n+1}-u_n=u_{n+1}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{1}{2^n}[/tex]

donc [tex]u_{n+1} = 2-\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{2^{n+1}} \lt 2[/tex] puisque les deux autres termes sont strictement positifs.

Par conséquent, la suite est positive, croissante et majorée, elle est donc convergente.

soso1 · 28-12-2016 23:11:05

Bonsoir,

ah oui,

Ce n'est pas bête comme lim a =a et ceci quelque soit le a, sa ne sert a rien d'abuser du langage des limites sa n'apporte rien de plus au raisonnement.Ben merci, j apprends pleins de chose!
La Formulation, avec les lettres m’intéresse je m'y penche.:)

@+

soso1 · 28-12-2016 23:48:09

ah mince, je n ai pas vu le message.

j 'ai vraiment le sentiment d'avoir dis la même chose, mon souhait était d'arriver à (Un),en partant de U(n+1) déduit préalablement.
Alors j ai voulu avoir la meilleure écriture possible en factorisant cette suite, pour réussir par la suite le décalage d'indice toujours dans le but d'atteindre[tex]({ u }_{ n })[/tex].Je comprends maintenant qu'on aurait pu raccourcir les calculs du fait que[tex]{ u }_{ n+1 }>{ u }_{ n }>0[/tex]

Merci,

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 25-12-2016 20:00:34

Suite difficile!

#2 26-12-2016 09:53:38

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