Suite et convergence !

soso1 · 12-12-2016 18:13:01

Bonsoir, tous le monde.

Étudiez la convergence, et la limite éventuelle, de la suite définie par : [tex]{ u }_{ n }=\sqrt [ n ]{ { a }^{ n }+{ b }^{ n } }[/tex]
ou a et b sont des réels donnée strictement positifs:

voici mon étude ,

[tex]Remarquons\quad Plusieurs\quad possibilités\quad d'études:\quad a\ge b\quad ,\quad b\ge a\quad ,a>b,\quad b>a.\\[/tex]
[tex] et\quad me\quad limite\quad au\quad cas\quad suivants\quad a\ge b\quad ,\quad b\ge a\\[/tex]

[tex]{ u }_{ n }=\sqrt [ n ]{ { a }^{ n }+{ b }^{ n } } \Leftrightarrow { \quad u }_{ n }{ =\left( { a }^{ n }+{ b }^{ n } \right) }^{ \frac { 1 }{ n } }\\ [/tex]

[tex]\ \Leftrightarrow ln\left( { u }_{ n } \right) =\frac { 1 }{ n } ln\left( { a }^{ n }+{ b }^{ n } \right) \quad \Leftrightarrow \quad \quad ln\left( { u }_{ n } \right) =\frac { 1 }{ n } ln\left( { { { b }^{ n } }\frac { { a }^{ n } }{ { b }^{ n } } +1 } \right) \\[/tex]

[tex]\ \Leftrightarrow ln\left( { u }_{ n } \right) =\frac { 1 }{ n } ln(\left( { { { b }^{ n } }{ \left( \frac { a }{ b } \right) }^{ n }+1 } \right)) \Leftrightarrow \quad ln\left( { u }_{ n } \right) =\frac { 1 }{ n } ln{ b }^{ n }+\frac { 1 }{ n } .ln[{ \left( \frac { a }{ b } \right) }^{ n }+1]\quad \\ [/tex]

[tex]\\ \Leftrightarrow ln\left( { u }_{ n } \right) =\quad ln{ b }+ln.(\sqrt [ n ]{ \left( { \left( \frac { a }{ b } \right) }^{ n }+1 \right) )} [/tex]

il suit que:

[tex] \lim _{ n\rightarrow \infty } ln\left( { u }_{ n } \right) =\lim _{ n\rightarrow \infty } ln{( b) }+\lim _{ n\rightarrow \infty } ln.[\sqrt [ n ]{ \left( { \left( \frac { a }{ b } \right) }^{ n }+1 \right) ]} \\ [/tex]

[tex]or,\lim _{ n\rightarrow \infty } \quad ln(.\sqrt [ n ]{ \left( { \left( \frac { a }{ b } \right) }^{ n }+1 \right) } =\lim _{ n\rightarrow \infty } ln\sqrt [ n ]{ 2 } =0\\ [/tex]

[tex] b\ge a\ : \lim _{ n\rightarrow \infty } ln\left( { u }_{ n } \right) =\lim _{ n\rightarrow \infty } lnb\quad \quad \Rightarrow \quad lim _{ n\rightarrow \infty } { u }_{ n }=b\\ [/tex]

[tex]on\quad déduis\quad aussi\quad que\quad si\quad a\quad \ge \quad b,\quad _{ n\rightarrow \infty }\quad ln[\quad \sqrt [ n ]{ \left( { \left( \frac { b }{ a } \right) }^{ n }+1 \right) ] } =0 [/tex]

[tex]\quad alors\quad lim _{ n\rightarrow \infty } { u }_{ n }=a\quad \\ \\

Cl\quad :\quad Comme\quad a\quad et\quad b\quad étant\quad des\quad réels\quad la\quad suite\quad converge\quad \quad [/tex]

J ai opté pour l'utilisation de Ln? je ne voyais pas autre chose?Y a t'il une autre façons de faire? Fallait il étudier les cas restants?

Merci.

Dernière modification par soso1 (13-12-2016 01:17:11)

Fred · 12-12-2016 21:05:42

Salut,

La démarche est bonne, mais j'ai repéré 2/3 petites erreurs :
* il y a un problème à plusieurs endroits avec les parenthèses....
* si $b\geq a$, $\left(\frac{a}{b}\right)^n+1$ tend vers $2$ si $b=a$, vers $1$ si $b>a$.
* le plus grave, le mot limite a disparu à la fin. En aucun cas, tu ne peux dire $u_n=a$. C'est $\lim_{n\to+\infty}u_n=a$.

F.

soso1 · 12-12-2016 23:15:16

Salut
AH oui c étais sûre que j allais avoir une réflexion pour tous les râtés de codage tampis pour moi!....malheureusement le travail était dèja enregistré, trop tard pour modifier et c'est assez long pour recoder.... :-)

néanmoins, je retrouve toujours le même résultat quelque chose m'échappe...
[tex]b\ge a\quad \quad \Longrightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty } ln\quad \left( \sqrt [ n ]{ { \left( \frac { a }{ b } \right) }^{ n }+1 } \right) =0\
[/tex]

[tex] lim _{ n\rightarrow \infty }{ u }_{ n }=b [/tex]

si
[tex]a\ge b\quad \quad \Longrightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty } ln\quad \left( \sqrt [ n ]{ { \left( \frac { b }{ a } \right) }^{ n }+1 } \right) =0\\
[/tex]

[tex]lim _{ n\rightarrow \infty }{ u }_{ n }=a[/tex]

je n 'arrive pas a retrouver le nombre 2 et 1?

merci
merci,je reviens

Dernière modification par soso1 (13-12-2016 06:03:35)

soso1 · 12-12-2016 23:53:59

re

voila j ai rectifiée en partie...

@+

soso1 · 13-12-2016 05:55:02

Bonjour,

je ny suis jamais arrivée à trouvée 2 et 1 ai je mal utilisée les propriétés algèbrique de Ln?Je tombe plusieurs fois et de differentes manière sur 0.

[tex]\quad b=a\quad \quad \Longrightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty } \quad ln\left( \sqrt [ n ]{ { \left( \frac { a }{ b } \right) }^{ n }+1 } \right) =\lim _{ n\rightarrow \infty } ln\left( \sqrt [ n ]{ { \left( 1 \right) }^{ n }+1 } \right) =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad ln(2 } )^{ \frac { 1 }{ n } }=ln1=0\\[/tex]

[tex]*\quad aussi:\\ \quad \sim \frac { 1 }{ n } .\lim _{ n\rightarrow \infty } ln[{ \left( \frac { a }{ b } \right) }^{ n }+1]\quad =0\quad [/tex]

[tex]\quad b>a\quad \quad \Longrightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty } \quad ln\left( \sqrt [ n ]{ { \left( \frac { a }{ b } \right) }^{ n }+1 } \right) =\lim _{ n\rightarrow \infty } ln\left( \sqrt [ n ]{ 1 } \right) =\lim _{ n\rightarrow \infty } ln({ 1) }^{ \frac { 1 }{ n } }=\lim _{ n\rightarrow \infty } ln({ 1) }^{ 0 }=0\\[/tex]

[tex]les\quad solutions\quad sont\quad identique,\quad ceci\quad revient\quad à\quad considerer\quad la\quad relation\quad b\quad \ge \quad a\\ *idem\quad pour\quad ln\left( \sqrt [ n ]{ { \left( \frac { b }{ a } \right) }^{ n }+1 } \right) "\quad \quad \quad \quad "\quad \quad \quad \quad "\quad \quad \quad "\quad \quad \quad \quad \quad "\ \quad \quad a\quad \ge \quad b.\\ \\[/tex]

La suite converge dans tous les cas soit vers a ou vers b, tous va dépendre de la position d'ordre suivant la relation[tex]\ge [/tex] Cette dernière est donc non négligeable,
ceci étant dis dans l'énoncé, il est question d'une seule limite?
je suis allée trop loin dans l'étude? faut il choisir un résultat entre a et b ?Ou alors tous est faux et j ai loupée un point essentiel?

Merci :)

freddy · 13-12-2016 06:39:15

Hello Sophie (je pense que j'ai bon :-))

je reprends, corrige les fautes et résume Fred (ce qui est en soi un exploit, car il est déjà très "condensé" ;-))

Étudiez la convergence, et la limite éventuelle, de la suite définie par : [tex]{ u }_{ n }=\sqrt [ n ]{ { a }^{ n }+{ b }^{ n } }[/tex]
où a et b sont des réels donnés strictement positifs et $n$ entier non nul.

OK pour les cas, mais tu peux conclure que $a$ et $b$ jouant des rôles symétriques, tu étudieras le cas $b \ge a \gt 0 $

Ensuite, tu fais beaucoup d'équivalences, en principe, tu peux faire plus court. Comme dit Fred, passer par les $\ln$ est une bonne idée, mais à la fin, il faut convertir par l'exponentielle pour conclure. Ensuite, pour utiliser les $\ln$, il convient de préciser au préalable que c'est possible car tous les termes $u_n$ sont strictement positifs.

Tu as donc construit la suite $v_n=\ln u_n = \ln b +\frac{1}{n}\times \ln (\left(\frac {a}{b}\right)^{n}+1) $

Puisque par hypothèse $0 \lt a \le b$ alors le terme $\left(\frac{a}{b}\right)^n \le 1$ pour tout entier $n$ donc la suite $(u_n)$ est convergente, de limite $b$.

En effet, premier cas : $a=b$, alors $v_n=\ln b + \frac{1}{n}\times \ln (1+1) $. On a alors $\lim \limits_{n \to +\infty} v_n = \ln b$ et donc la suite $(u_n)$ est convergente et a pour limite $b$.

Second cas : $b \gt a$. On a alors $\lim \limits_{n \to +\infty} v_n = \ln b$ et donc la suite $(u_n)$ est convergente et a pour limite $b$.

PS : pendant que je m'escrimais avec les formules Latex, tu postais. J'espère que nous sommes en phase.

Dernière modification par freddy (13-12-2016 07:15:36)

soso1 · 13-12-2016 17:11:16

Coucou ,Freddy,,,moi c est Sonia. :)

Plouf, je viens de tomber dans la marre

Eh oui comment se faire avoir par Monsieur symétrie! lui le plus petits des détails qui prends tte son importance dans la conclusion.Une petite phrase aurait simplement suffit à ma conclusion du post#1 " Il faut et suffit alors de choisir entre a et b car ces éléments jouent des rôles de symétrie,"

En ce qui concerne Ln et son domaine d'existence, a et b sont des réels positifs leurs sommes ne changent strictement rien au signe et en plus sous une racine,autant dire que U(n) est forcément dans R+.Passage a Ln,un peu par obligation ou plutôt par intuition.
C'est vrai, le passage aux Exponentielles pour voir la limite accrochée à l'oreille de l'exponentielle ^!^ vaut le détour

[tex]{ e }^{ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { ln(u }_{ n) } } }={ e }^{ ln(a) }[/tex] puis [tex]{ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { (u }_{ n) } } }=a[/tex]

Aussi avec des détours ...

[tex]{ e }^{ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { ln(u }_{ n) } } }={ e }^{ \lim _{ n\rightarrow \infty } \ln { a } }\quad \quad puis\quad \quad { \quad \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { (u }_{ n) } } }=\lim _{ n\rightarrow \infty } a=\ a\quad \quad avec\quad a\epsilon \Re [/tex]

Parcontre,
Hier en étudiant les 4 cas possible, tous me ramène à relation [tex] \geq [/tex] .J' ai remarquée que l'ordre et le positionnement des éléments dans cette relation me permettrait aussi de conclure ....c'est sans doute une explication liée à la symètrie

Merci à vous deux

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