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jujudre

Invité

Accroissements finis

Bonjour,

La questions est la suivante: Montrer que  | sin x – sin y |< | x – y | (supérieur ou égal) pour tous x, y appartenant à R.

Je connais l'inégalité des accroissements finis ainsi que le théorème mais j'ai du mal à l'appliquer dans des cas concrets comme celui-ci.
Pouvez vous m'aider ?

Merci d'avance pour votre aide !
Julien

Yassine

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Re : Accroissements finis

Bonjour,

Est-ce que tu sais écrire l'inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction $\sin(x)$ ?

jujudre

Invité

Re : Accroissements finis

| sin x − sin y| ≤ |x − y|

Non...
Jai cru comprendre qu'il faut commencer par démontrer que  x ≤ y. Et qu'ensuite on considère  la fonction sin sur l’intervalle [x, y], dont la dérivée est cos. Mais | cos(t)| ≤ 1 pour tout t. Je n'arrive pas à aller plus loin (et je ne suis pas sure que mon peu de raisonnement soit correct...)

Yassine

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Re : Accroissements finis

Mais est-ce que tu sais juste écrire ce qu'il y a dans ton cours à propos de cette inégalité ?
Normalement, on te donne $x$ et $y$ quelconques, tu n'as pas à démontrer que l'un est supérieur à l'autre. S'ils sont quelconque, c'est qu'on peut très bien appliquer l'inégalité au cas $x=0,y=1$ comme au cas $x=12,y=-25$. L'inégalité doit marcher dans les deux cas (as-tu d'ailleurs remarqué qu'il y a une valeur absolue ?)

jujudre

Invité

Re : Accroissements finis

f : I-> R continue et dérivable sur I°, et telle que  | f'(x)| ≤ M pour un réel M et tout x appartenant à I°. Alors| f(x)-f(y) ≤ M |x − y|.

Ce corollaire on me le donne mais je sais pas comment l'appliquer à ma question.
Oui j'ai remarquer qu'il y a une valeur absolue ! Donc oui en effet peut importe les valeurs que prennent x et y, l'inégalité doit marcher dans les deux sens

Yassine

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Re : Accroissements finis

Normalement, tu as tous les ingrédients pour résoudre.
Tu sais que tu dois utiliser le corollaire. Puisque sa conclusion est, si $f$ vérifie certaines conditions, que $|f(x)-f(y)| \le M |x-y|$ pour tout $x,y \in I$ et que ce que du montrer est que $|\sin(x)-\sin(y)| \le |x-y|$ pour tout $x,y \in \mathbb{R}$, ça à l'air de coller si on prend $f(x)=\sin(x)$ et $I=\mathbb{R}$ (en dehors du $M$ qui semble poser un problème)

Donc, à toi de vérifier qu'avec ce choix, $\sin(x)$ vérifie bien les conditions du corollaire (tu devra alors chercher le $M$ qui convient)