inter,,, algebre et complexes

soso1 · 25-11-2016 02:22:39

Bonsoir,

Le Prof actuel a enseigné en Angleterre plusieurs années et en guise de pot de départ ,une interro venant tous droit de là bas.La plupart d'entre nous on même pas pu y répondre,je suis la seule!!Alors j'ai pas mal de doute à cause de cette raison.

Voici l'énoncé:
On se propose d'étudier une équation ou y figure des nombres complexes et des radicaux.
x et y sont de module unitaire(1)distincts, et z un complexe quelconque.

Question 1

Montrer que [tex]t+\overline { t } =0 [/tex] on pose[tex] t=\frac { \overline { \overline { z } } +xy\overline { z } -\left[ { 2 }^{ -1 }.\sqrt { x } .\sqrt [ 4 ]{ { 2 }^{ 4 }.x\sqrt { x } .\sqrt { x } } +\quad { 2 }^{ -1 }.\sqrt { y } .\sqrt [ 4 ]{ \sqrt { { y }^{ 3 } } .{ 2 }^{ 4 }\sqrt { y } } \right] }{ { 2 }^{ -1 }.\sqrt { x } .\sqrt [ 4 ]{ { 2 }^{ 4 }.x\sqrt { x } .\sqrt { x } } -\quad { 2 }^{ -1 }.\sqrt { y } .\sqrt [ 4 ]{ \sqrt { { y }^{ 3 } } .{ 2 }^{ 4 }.\sqrt { y } } } \quad[/tex]

Question 2 déduire [tex] { t }^{ 2 }\varepsilon \ R- [/tex] Commentez.

Juste avant de vous transmettre ma copie , le commentez est à mon sens ambigu ça m'a déstabilisée je trouve Z- à cause de l'imaginaire pur et non R - mais Z- est dans R- j ai pas reussi a formulée tous ceci, par une expression littéral!! pouvez vous me dire si j ai réussi cette inter que le prof a estimé coriace?

QUESTION1

[tex]t=\frac { \overline { \overline { z } } +xy\overline { z } -\left[ { 2 }^{ -1 }.\sqrt { x } .\sqrt [ 4 ]{ { 2 }^{ 4 }.x\sqrt { x } .\sqrt { x } } +\quad { 2 }^{ -1 }.\sqrt { y } .\sqrt [ 4 ]{ \sqrt { { y }^{ 3 } } .{ 2 }^{ 4 }\sqrt { y } } \right] }{ { 2 }^{ -1 }.\sqrt { x } .\sqrt [ 4 ]{ { 2 }^{ 4 }.x\sqrt { x } .\sqrt { x } } -\quad { 2 }^{ -1 }.\sqrt { y } .\sqrt [ 4 ]{ \sqrt { { y }^{ 3 } } .{ 2 }^{ 4 }.\sqrt { y } } } \quad \left( E \right) \ [/tex]

Par changement de variable, [tex] K={ 2 }^{ -1 }.\sqrt { x } .\sqrt [ 4 ]{ { 2 }^{ 4 }.x\sqrt { x } .\sqrt { x } } +\quad { 2 }^{ -1 }.\sqrt { y } .\sqrt [ 4 ]{ \sqrt { { y }^{ 3 } } .{ 2 }^{ 4 }\sqrt { y } } [/tex]

[tex]D'ou\quad K=\left( \frac { \sqrt { x } }{ 2 } .\sqrt [ 4 ]{ { 2 }^{ 4 } } .\sqrt [ 4.2 ]{ { x }^{ 3 }.x } \right) \quad +\left( \frac { \sqrt { y } }{ 2 } .\sqrt [ 4 ]{ { 2 }^{ 4 } } .\sqrt [ 4.2 ]{ { y }^{ 3 }.y } \right) [/tex]

[tex] \Longleftrightarrow \\ [/tex]

[tex]K=\frac { 2.\sqrt { x } .\sqrt { x } }{ 2 } +\frac { 2\sqrt { y } .\sqrt { y } }{ 2 } =\quad x+y\quad \quad \Rightarrow \quad -K=-x-y\\ [/tex]

De plus: [tex] \overline { \overline { z } } =\ z\ [/tex]

Il vient,

[tex]\left( E \right) \quad \quad \quad \Longleftrightarrow \quad \frac { z+xy\overline { z } -x-y }{ x-y } \\ \\ [/tex]

[tex] t+\overline { t } =0\quad \Rightarrow \quad \frac { z+xy\overline { z } -x-y }{ x-y } \quad +\frac { \overline { z } +\overline { x } \overline { y } .z\quad -\overline { x } -\overline { y } }{ \overline { x } -\overline { y } } =0\\[/tex]

[tex] \Longleftrightarrow[/tex][tex]\frac { \left( \overline { x } -\overline { y } \right) z+xy\overline { z } -x-y+\left( x-y \right) \overline { z } +\overline { x } \overline { y } .z\quad -\overline { x } -\overline { y } }{ \left( x-y \right) .\left( \overline { x } -\overline { y } \right) \quad } =0[/tex]

[tex]=\frac { \overline { x } z+x\overline { z } +\overline { x } x.y\overline { z } -\overline { x } x-\overline { x } y-\overline { y } z-\overline { y } y.x\overline { z } +\overline { y } x+\overline { y } y+x\overline { z } +x\overline { x } .\overline { y } z-x\overline { x } -x\overline { y } -y\overline { z } -y\overline { y. } \overline { x } z+y\overline { x } +y\overline { y } \quad }{ \left( x-y \right) \left( \overline { x } -\overline { y } \right) } =0\ [/tex]

Or,[tex]x\overline { x } =y\overline { y } =1 [/tex]

[tex]\frac { \overline { x } z-1\overline { x } z+x\overline { z } -1x\overline { z } +1y\overline { z } -y\overline { z } -1-1-\overline { x } y+y\overline { x } -\overline { y } z+1\overline { y } z-1x\overline { z } +x\overline { z } +\overline { y } x-x\overline { y } +1+1 }{ \left( x-y \right) \left( \overline { x } -\overline { y } \right) } =0 [/tex]

Tous les termes s'annulent l'égalité est donc vérifiée!

[tex]Cl:\quad t+\overline { t } =0\ [/tex]

QUESTION 2

[tex]t+\overline { t } =0\quad \Rightarrow \quad -t=\overline { t } [/tex]
[tex]On\quad a\quad alors,\quad -t=-a-ib=\overline { t } =a-ib\quad \Leftrightarrow 2a=0,Re\left( t \right) =0\quad (t\quad est\quad un\quad imaginaire\quad pur) [/tex]

[tex] { t }^{ 2 }=-{ b }^{ 2 }[/tex][tex] \quad \Leftrightarrow \quad b\varepsilon R\\ \\ \\ [/tex]

On est en présence d'un imaginaire pur car la partie réel de ce complèxe est nul, le nombre b est un réél négatif,pour être plus précise, ce nombre est un entier relatif,dire qu'il appartient à R est un abus de langage!Il aurait été utile de le rangé dans Z-

Bon courage, a tous.

yoshi · 25-11-2016 18:45:35

Salut la miss,

J'ai survolé (très peu de temps en ce moment et pour une dizaine de jours : l'heure de la revue trimestrielle de mon association a sonné déjà depuis quelques jours) : ce sujet a une gueule vraiment très antipathique...
A priori comme ça, avant toute chose j'aurais essayé de simplifier son aspect...
Je vais essayer de regarder de plus près à mes moments perdus parce que j'en ai entrevus.
En tout cas, bravo d'être allée au bout !!!

Il fallait oser...

Bon, ça me démange, j'essaie quand même.
Sauf erreur (parce que j'ai fait un peu vite), ton expression se ramène à
[tex]t=\frac{z+xy\bar z-(x+y\sqrt y)}{x-y\sqrt y}[/tex]

Après, il y a encore du boulot, mais comme on dit familièrement : ça me paraît moins pire...

@+

Dernière modification par yoshi (25-11-2016 19:01:32)

freddy · 25-11-2016 19:20:34

Salut,

c'est plutôt [tex]t=\frac{z+xy\bar z-(x+ y)}{x- y}[/tex]

(je reviens ...)

yoshi · 25-11-2016 19:38:57

Re,

Ah, flute !
[tex]\sqrt y\sqrt[4]{\sqrt{y^3}.\sqrt y}=\sqrt y \sqrt[4]{\sqrt{y^3. y}}=\sqrt y\sqrt[4]{\sqrt{y^4}}=\sqrt y\sqrt[4]{y^2}=\sqrt y.\sqrt y=y[/tex]
J'avais retenu y devant...

Alors, c'est plus sympathique !

@+

freddy · 25-11-2016 23:05:43

Me revoilà,

je me concentre donc sur le numérateur de l'expression $t+\overline{t} = [z+xy\overline{z}-(x+y)]\times (\overline{x}-\overline{y})+[\overline{z}+\overline{a}\overline{y}z-(\overline{x}+\overline{y})]\times (x-y) = 0$
car elle se simplifie très bien.

Donc $t=-\overline{t}$.
Par conséquent, $t^2=-t\overline{t}=-⎮t⎮^2 \in \mathbb{R}$

Conclusion : oui, c'est un imaginaire pur mais la partie imaginaire est un réel, car rien ne permet de savoir si c'est un entier ou un relatif ou un rationnel.

Donc beau travail, jeune fille !

Dernière modification par freddy (26-11-2016 08:27:04)

soso1 · 25-11-2016 23:18:42

Salut,

On s'y perds un peu avec ttes ces racines, lol j'y suis arrivée de deux manières et trouve tjrs trouve x+y.....@YOSHI, sa reste un exo de plus, priorité a ton association c'est beaucoup plus important et ne cesserai jamais de te remercier.

@Freddy,Pour la Trigo. j'ai relus plusieurs fois ton explication et ttes tes déductions en partant de rien!, un seul mot te caractérise impressionnant!pour revenir à nos mouton.Ne pense tu pas que le Commenté est ambigu d'autant plus que tous as été dis précédemment?.

En tous cas cette question a faussé mon raisonnement,je m'attendais a développée une idée nvelle alors que non :)

Merci :]

soso1 · 25-11-2016 23:22:06

AH D'accords,

Parcontre tu es arrivé sans dévellopper puis regrouper

freddy · 26-11-2016 08:19:47

Re,

si, si, il faut développer avec minutie puis simplifier, mais c'est de l'algèbre élémentaire. Mon propos était d'arriver à la conclusion qu'il fallait commenter. Et là, oui, ce qui peut perturber est le "Commentez". Ne sachant pas ce que ton prof vous a transmis, peut-être voulait-il que vous découvriez par vous même que si le carré d'un nombre complexe est réel, alors c'est un imaginaire pur.

Soit $x=a+ib$ et $x^2=a^2-b^2+2iab$ avec $a$ et $b$ réels.
Si $x^2$ est un réel, alors $2iab=0$ et donc soit $a = 0$ soit $b=0$. Or $b$ ne peut être nul, sinon $x$ serait un réel. Donc $a$ est nul et $x$ imaginaire pur.

yoshi · 26-11-2016 09:52:38

Re,

Bravo freddy !!!
Et d'un seul coup, en te lisant, je me suis dit "Bon dieu, mais c'est bien sûr !" (référence qui ne parle pas aux jeunes) le souvenir d' un exo que j'avais résolu est remonté à la surface...

Résoudre dans [tex]\mathbb{C}[/tex] l'équation d'inconnue z :
[tex]z^2+2\bar z=−1[/tex]

Je l'avais résolu sans poser [tex]z=a+ib[/tex], méthode -qui ne présente pas de difficulté particulière - et à laquelle on pense immédiatement, mais un peu trop "nez dans le guidon" à mon goût.
Il date du temps où - hélas - freddy n'était pas encore avec nous), exo que je dédie à soso1...

Clin d'oeil à freddy: y a de l'écho !...

Enjoy !

@+

Dernière modification par yoshi (27-11-2016 08:56:51)

soso1 · 01-12-2016 13:20:59

coucou
@yoshi.

c est pas si simple que s'en a l'air,:) j'ai cherchée à faire l'exo sans poser a+ib . Resultat: je tourne en rond!
alors bien sur en posant la forme algébrique du comlexe, on arrive à un système d'équation à résoudre.

voici un début ...suis je sur le bon chemin? :)

[tex]on\quad a:\quad { z }^{ 2 }+2\overline { z } +1=0\quad \Leftrightarrow \quad { z }^{ 2 }+2z-4ib+1\quad =0[/tex]

[tex]car\quad \overline { z } =\left( a+ib-2ib \right) =z-2ib\\[/tex]

[tex]\quad z\left( z+2 \right) -i\left( 4b \right) +1=0\quad \Leftrightarrow i\left( 4b \right) -1=z\left( z+2 \right) \\ [/tex]

@+

yoshi · 01-12-2016 13:38:24

Salut soso,

Si on pose z=a+ib, c'est un exercice basique. Celui qui l'avais soumis se demandait s'il y avait une autre méthode "moins bourrine" et on se creusait la tête : l'idée m'était venue un un matin...
Pose [tex]Z=z^2+2z[/tex] tu as donc Z = 1...
Maintenant que penses-tu de [tex]\bar Z[/tex] ? Examine-le ensuite de plus près...
Je ne me sers pas du tout de a ni de ib.

Quand tu auras pigé où je veux en venir, ça te paraîtra tellement simple et évident que tu demanderas pourquoi tu n'y avais pas pensdé (de toutes façons, ça fait toujours cet effet-là !)
Quant à ton début, que vas-tu bien pouvoir en faire ?

Méthode basique
Avec [tex]z =a+ib[/tex] on tire [tex]\bar z=a-ib[/tex]
et [tex](a+ib)^2+2(a-ib)+1=0[/tex]
D'où [tex](a^2-b^2+2a+1)+i\times 2(ab-b)= 0[/tex]
Aucun pb...
Mais c'est "bête et méchant"...
Je propose une autre voie plus fine où on arrive directement à z (et $\bar z$)

@+

soso1 · 01-12-2016 14:18:19

re

@ YOSHI
Comment as tu eu l'idee astucieuse de poser [tex] { z }^{ 2 }+2z=Z[/tex] ?

pour la question: justement rien de probant enfin pendant que tu m'écrivais je suis arrivée à ceci :)

[tex]on\quad a:\quad { z }^{ 2 }+2\overline { z } +1=0\quad \Leftrightarrow \quad { z }^{ 2 }+2z-4ib+1\quad =0[/tex]

[tex] \Leftrightarrow \ \quad { \left( z+1 \right) }^{ 2 }=0+4ib\quad \\ \quad Re=0.... [/tex]

je fais ce que tu me suggere...

@+

yoshi · 01-12-2016 15:04:10

RE,

@ YOSHI

Comment as tu eu l'idee astucieuse de poser [tex]z^2+2\bar z=Z[/tex] ?

Bonne question...
1. En regardant dans le cours de Term ce qui est dit très précisément sur les conjugués, à la recherche d'un détail qui aurait pu m'échapper... (Lycéen, je fonctionnais comme ça. C'était ma façon de savoir mes leçons par cœur sans jamais les apprendre ; retourner, retourner encore et encore au bouquin - il y avait de quoi faire : j'en avais 7 pour 9h de Maths par semaine et 5 h 30 de Physique-Chimie... On rigolait pas !)
2. Puis en regardant [tex]z^2+2\bar z[/tex], j'ai résisté à la tentation de passer le 1 de l'autre côté et là boum ! Illumination... je me suis dit : ah, mais oui... Pas de raison de pas aller jusqu'au bout en partant de là...
Appelle ça, l'intuition. Beaucoup hurleront : ça n'existe pas ! Mais si ! L'intuition, c'est juste le raccourci qu'emprunte ton cerveau dans l'immense base de données qu'il contient : plus elle est riche, et plus le raccourci arrive vite...
Quand je ne trouvais pas, je demandais à mon cerveau de s'occuper du pb et j'allais me coucher. Souvent, le lendemain matin, je me levais à 6 h et j'avais l'idée (parfois - même souvent - "tordue", pas toujours simple, mais différente de celle de tout le monde : me pomper dessus était donc un sport à risques...^_^)...

Quant à ce que tu soumets, pour le moment, j'ai vu qu'on rejoint grosso modo la méthode basique, avec des détours...

@+

soso1 · 01-12-2016 17:10:04

Re,

Bien souvent on parle d'intuition mathématique ,c'est la pensée inconsciente qui génère ou pas l'idée.Ce qu'il y a d'intéressant en mathématique c'est qu'un résultat naît de nôtre raisonnement.Systématiquement, suposée faux jusqu'a ce qu'on puisse le prouver d'une autre manière.
Alors c est coûteux en terme d'investissement et de travail, en contrepartie j'en suis convaincu :]

yoshi · 01-12-2016 21:35:05

Bonsoir,

Où en es-tu ?

@+

soso1 · 01-12-2016 21:42:22

Re

j ai finie depuis longtemps....imaginaire pure?

soso1 · 01-12-2016 21:46:55

[tex]-z=\overline { z } [/tex]

yoshi · 02-12-2016 08:47:42

Re,

Et non !
On voit que [tex]Z=\bar Z = -1[/tex], donc que [tex] Z-\bar Z = 0[/tex]
[tex]\bar Z = {\bar z}^2+2z[/tex]

D'où il vient :
[tex]z^2+2\bar z-({\bar z}^2+2z)=0[/tex]...
Factoriser.
Résoudre l'équation, donc exprimer [tex]\bar z[/tex] en fonction de $z$
Reporter l'expression (les expressions : il y a 2 réponses) de [tex]\bar z[/tex] en fonction de $z$
dans [tex]z^2+2\bar z +1 = 0[/tex]
Pus subtil que tu ne le pensais ?
Faute de calcul ?

@+

soso1 · 02-12-2016 10:01:27

bonjour,

^:^ quelques choses m'as échappée,,,je reprends mes brouillons et reviens

soso1 · 02-12-2016 10:44:34

re,
Je ne comprends plus rien hihi [tex]Z={ z }^{ 2 }+2\overline { z } =-1\quad \Rightarrow \quad \overline { Z } =\overline { { z }^{ 2 } } +2z=-1[/tex]?

[tex]on\quad a \quad { z }^{ 2 }+2\overline { z } =-1\quad \Rightarrow \quad { z }^{ 2 }+2\overline { z } +1=0[/tex]

de toutes façon je reprends ce que tu me dis:

[tex]Z-\overline { Z } =0\quad \Leftrightarrow \quad -\overline { z } .\overline { z } +2\overline { z } +{ z }^{ 2 }-2z=0\\
[/tex]

[tex]\overline { z } \left( 2-\overline { z } \right) +z\left( -2+z \right) =0\\ [/tex]

[tex]\overline { z } =\quad 0\quad ou\quad 2\quad z=\quad 0\quad ou\quad 2[/tex]

....je ne sais pas ce que j ai bien pu faire pour me gourrer complêtement ensuite faut remplacer les valeurs trouvée c est bien sa?

@+

yoshi · 02-12-2016 11:48:59

Salut,

[tex]-\bar z.z+2\bar z+z^2-2z=0[/tex] ??

Moi je fais :
[tex]z^2+2\bar z-(\bar z^2+2z)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]z^2-\bar z^2+2(\bar z-z)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex](z-\bar z)(z+\bar z)-2( z-\bar z)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex](z-\bar z)(z+\bar z-2)=0[/tex]
Soit
$\bar z= z$
et
$\bar z =-z+2$
que je remplace chacun leur tour dans
[tex]z^2+2\bar z+1=0[/tex]
Et je n'ai jamais utilisé l'écriture a+ib...

@+

soso1 · 02-12-2016 13:06:55

Slt,

Voici précisément ce que j ai fais

[tex]on\quad a:\quad { z }^{ 2 }+2\overline { z } =-1\quad \Rightarrow \quad { z }^{ 2 }+2\overline { z } +1=0\\[/tex]

On pose Z = [tex]{ z }^{ 2 }+2\overline { z }=-1 [/tex] [tex] \Rightarrow \quad \overline { Z } =\overline { { z }^{ 2 } } +2z=-1\\ [/tex]

[tex]Z-\overline { Z } =0\quad \Leftrightarrow \quad { z }^{ 2 }+2\overline { z } -\left( \overline { { z }^{ 2 } } +2z \right) =0\quad \Leftrightarrow \quad \overline { z } \left( 2-\overline { z } \right) +z\left( -2+z \right) =0\\ [/tex]

D'ou z={0;2} Et [tex] \overline { z }[/tex] {0,2} [tex] \Rightarrow [/tex][tex] z=\overline { z } \\ [/tex]

Aprés j ai remplacer dans [tex] { z }^{ 2 }+2\overline { z } +1=0\\ [/tex]

c est une identité remarquable . [tex] { \left( z+1 \right) }^{ 2 }=0[/tex]

c est aussi ce que j ai trouvé précédemment par la méthode basique,,,, je vois qu'il aurait fallu factoriser differement,,, pour retrouver deux solutions...

Thanks you Mister yoshi ,,,, Lol

yoshi · 02-12-2016 14:23:09

Re,

De rien, de rien...
J'espère que tu auras apprécié le côté à part de la démo pas aussi évidente qu'elle peut en avoir l'air au départ...
Les complexes sont un domaine où on peut vraiment faire preuve de créativité.

@+

freddy · 03-12-2016 10:20:40

Salut,

c'est bien, mais au final, que valent les deux solutions ?
Là, t'es pas obligé de passer par $a$ et $b$ ?

Si on a $z=\overline{z}$, ça veut dire que la solution est un imaginaire pur, mais combien vaut $b$ ?
Et si on a $\overline{z}=-z+2$, que vaut la solution $z=a+ib$ ?

On sait par toi que $a-ib=-a-ib+2$ et donc $a=1$ mais que vaut $b$ ?

Un truc a dû m'échapper et j'aimerais bien savoir quoi ;-)

yoshi · 03-12-2016 10:52:09

RE,

Si on a $z=\bar z$, ça veut dire que la solution est un imaginaire pur, mais combien vaut b ?

Tu veux dire réel pur... C'est là l'erreur... Ça arrive même aux meilleurs ! C pô grave !
Je finis.
Cas n° 1
$z=\bar z$
On a donc[tex] z^2+2z+1=0[/tex]
soit [tex]z = -1[/tex]

Cas n°2
[tex]\bar z=-z+2[/tex]
Donc
[tex]z^2+2(-z+2)+1=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]z^2-2z+5=0[/tex]
[tex]\Delta=4-20=16i^2[/tex]
[tex]z_{1,2}=\frac{2\pm 4i}{2}[/tex]
et
[tex]z_{1,2}=1\pm 2i[/tex]

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#1 25-11-2016 02:22:39

inter,,, algebre et complexes

#2 25-11-2016 18:45:35

Re : inter,,, algebre et complexes

#3 25-11-2016 19:20:34

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#4 25-11-2016 19:38:57

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#5 25-11-2016 23:05:43

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#6 25-11-2016 23:18:42

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#7 25-11-2016 23:22:06

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#8 26-11-2016 08:19:47

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#14 01-12-2016 17:10:04

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#15 01-12-2016 21:35:05

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#17 01-12-2016 21:46:55

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#21 02-12-2016 11:48:59

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#22 02-12-2016 13:06:55

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#23 02-12-2016 14:23:09

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#24 03-12-2016 10:20:40

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#25 03-12-2016 10:52:09

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