complexe et trigo

soso1 · 16-11-2016 05:51:19

Re

j ai finie ce fut laborieux! pas du tous certaine que ça soit juste .Faudrait que j 'apprenne à utiliser les codes Latex,,,, car franchement ça ne donne pas envie ne serait ce que de me relire!

QUESTION 5-6 ETUDE COS(2pi/5) : On suppose a^4+a^3 +a^2 +a +1=0 et a= cos(2pi/5) + isin(2pi/5)
5) on pose v=a + a^-1 . Etablir une équation de degré 2 vérifiée par v
6)En déduire les valeurs de cos(2pi/5), sin(2pi/5) tan(2pi/5)

*** indication un argument de signe permettra de conclure.

a^4+a^3 +a^2 +a +1=0 je note (E) .

v=a+1/a et v^2=a^2 +2 +1/a^2 puis j'ai simplifié (E) par a^-2 (j ai essayé en tâtonnant la seule qui m'entraine ds du 2eme degrée c est a^-2 )

j'en ai déduis a^-2+ a^-1 +a^2 +a +1 =0 v^2 +v -1=0 ( j'ai pas mis le details des calculs, trop long :)

Question 6

résolution d une équation du second degré .
2 Solution réelle , discriminant =5
les racines st: v1=-1/4 +racine5/4 v2=-1/4 -racine 5/4

-discussion autour du signe de v . ( je sais que celui ci est positif, un simple calcul à la calculatrice m'indique qu'il est sup à o)
a mon avis faut utiliser Euler sinon sa serait bateau!

Je tente par l 'application de la formule d'Euler sur la variable v : je fais brefs en réduisant les calculs au maximum :) Sigma (e^2ipi/5 + e^-2ipi/5)
finalement,-isin(2pi/5) +isin(2pi/5) +cos(2pi/5 )+cos(2pi/5 )= 2cos(2pi/5) .bizzare ce 2 en facteur :(

deux cas possible : v=v1 ou v=v2
, v1>0 et 0> v2 implique v1>v2 cos(2pi/5)>0

Cl: v=v1 cos(2pi/5) = -1/4 +racine5/4

calcul de sin(2pi/5) (j'utilise cos^2(a) +sin^2(a)=1)
sa fait 1- (-1/4 +racine5/4)^2 =Racine de tous sa (5+Racine 5) env 0.95
(8)
tan (2pi/5) s 'est monstrueux ): ): une sacréé expression. en fin de jrnée je tenterais de la simplifier.

@+ bonne journée

yoshi · 16-11-2016 11:07:59

Salut,

Q2
Tel que tu l'as faite, en tenant compte de mes observations, c'est juste.
Cela dit, ta méthode n'a rien à voir avec les suites (n'essaie pas de mélanger les genres) et, je le répète, est correcte : personnellement, je n'avais pas pensé à factoriser par (a-1) !

Q3
J'y reviendrai : je vais essayer de comprendre ce que tu fais avec tous ces S qui parsèment ta démo : y a t-il des multiplications par S dedans ?. Ça me paraît effroyablement long et inutilement compliqué...

Q5
Là c'est moi qui ai factorisé !
[tex]a^4+a^3+a^2+a+1 = 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a^2\left(a^2+a+1+\frac 1 a+\frac{1}{a^2}\right) = 0[/tex]
Or [tex] a^2\neq 0[/tex]
Donc
[tex]a^2+a+1+\frac 1 a+\frac{1}{a^2}=0[/tex]
[tex]v=a+\frac 1 a[/tex]
Donc je regroupe :
[tex]a^2+\frac{1}{a^2}+1+a+\frac 1 a=0[/tex]
Et :
[tex]a^2+\frac{1}{a^2}+1=\left(a+\frac 1 a\right)^2-1= v^2-1[/tex]
L'équation cherchée est donc :
[tex]v^2+v-1=0[/tex]

Q6

-discussion autour du signe de v .

A priori, à ce stade des calculs, v est est toujours un complexe et la notion de signe d'un complexe n'a pas de sens. Attention !
Je pense que tu t'es mal exprimée...
[tex]\Delta =1+4=5[/tex]
Solutions de l'équation
[tex]v_1,v_2=\frac{-1\pm\sqrt 5}{2}[/tex]
La discussion autour de l'argument de signe va être d'identifier la bonne valeur en sachant que [tex]\cos\frac{2\pi}{5}[/tex] et [tex]\sin\frac{2\pi}{5}[/tex] sont tous deux positifs...
[tex]v=a+a^{-1}=\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)+\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)^{-1}[/tex]
D'où
[tex]v=\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)+\left(\cos -\frac{2\pi}{5}+i\sin -\frac{2\pi}{5}\right)[/tex]
Donc :
[tex]v=\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)+\left(\cos\frac{2\pi}{5}-i\sin \frac{2\pi}{5}\right)[/tex]
Et enfin
[tex]v=2\cos\frac{2\pi}{5}[/tex]

Donc je dois choisir pour [tex]\cos\frac{2\pi}{5}[/tex] entre :
[tex]\frac{-1-\sqrt 5}{4}[/tex] et [tex]\frac{-1+\sqrt 5}{4}[/tex]
Ainsi que je l'ai dit plus haut
[tex]\cos\frac{2\pi}{5} >0[/tex]

Donc la réponse est : [tex]\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{-1+\sqrt 5}{4}[/tex]

[tex]\sin^2\frac{2\pi}{5}=1-\cos^2\frac{2\pi}{5}[/tex]
Donc [tex]\sin^2\frac{2\pi}{5}=1-\frac{(-1+\sqrt 5)^2}{16}=\frac{16-(1-2\sqrt 5+5)}{16}=\frac{10+2\sqrt 5}{16}[/tex]
Enfin
[tex]\sin \frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt 5}}{4}[/tex]

D'accord la tangente est imbuvable, c'est pourquoi je te propose de passer par son carré : on évite un niveau de racine carrée !!!
[tex]\tan^2=\frac{sin^2}{cos^2}[/tex]
[tex]\cos^2\frac{2\pi}{5}=\frac{(-1+\sqrt 5)^2}{16}=\frac{6-2\sqrt 5}{16}[/tex]

Donc [tex]\tan^2 \frac{2\pi}{5}=\dfrac{\dfrac{10+2\sqrt 5}{16}}{\dfrac{6-2\sqrt 5}{16}}=\frac{10+2\sqrt 5}{6-2\sqrt 5}=\frac{5+\sqrt 5}{3-\sqrt 5}[/tex]

Maintenant tu vas rendre rationnel dénominateur (quantité conjuguée !)
Après simplifications, il n'y a plus de dénominateur, et tu prends la racine de ce qui te reste :
[tex]tan\frac{2\pi}{5}=\sqrt{5+2\sqrt 5}[/tex]
Vérification via le langage de programmation Python :

>>> tan(2*pi/5)
3.0776835371752527
>>> sqrt(5+2*sqrt(5))
3.0776835371752536

Et maintenant, question à 1000 € : à quoi servait la Q4 ?

@+

soso1 · 16-11-2016 20:01:44

Slt,

L'utilisation du formulaire mathématique aurait sans doute permis à une meilleure lisibilité de tous mes résultats. C'est vraiment problématique de se faire comprendre, avec des ^-1 ou < et en plus à force de regarder ces pseudos expressions , ont s'irritent les yeux.

Pour résumer un peu cette exercice.

Q1
Déja avant tous, je n'ai pas pu participer au cours sur les complêxes étant absente ce jour la.Les absents ont tjrs tort...je sais : -)
Difficile alors de répondre à la Q1, FREDDY et NUMBER m'on suggéré Euler. J 'ai du plancher sur cette notation et par suite sur Moivre.
J'ai appliquée celle de Moivre et rapidement on trouve 1.

Q3

Je pense qu' il ne faut pas que tu te fatigue trop les yeux ,difficile pour moi d'être rigoureuse dans cette démonstration sans l'utilisation du Latex.
Le (S) c'est la notation sigma.
J'ai jugée utile de considérée une somme de suite géométrique .Or cette somme vaut -1 et Comme l'addition est associative ds R
Les propriétés de linéarités de cette somme m'on permise de décomposer cette somme en deux afin de séparer cos des sin puis sortir i de cette somme. Fallait aussi remarquer (2pi) sur cos et sin .....
Voici l'idee

Pour la Q4 mdr d ailleurs à ce propos j 'ai oubliée de la faire! Certainement pour apaiser et refroidir le cerveau compte tenu de la compléxité de la Q2.
5-6 j ai tous juste!!
@ + :)

yoshi · 16-11-2016 20:41:25

Re,

Bravo. Bravissimo...

Déja avant tous, je n'ai pas pu participer au cours sur les complêxes étant absente ce jour la.Les absents ont tjrs tort...je sais : -)
Difficile alors de répondre à la Q1, FREDDY et NUMBER m'on suggéré Euler. J 'ai du plancher sur cette notation et par suite sur Moivre.
J'ai appliquée celle de Moivre et rapidement on trouve 1.

Et je t'ai montré qu'on peut facilement faire sans... ^_^

Concernant LateX, pour l'utiliser 2 cas :
- soit tu as du courage, tu es prête à investir 1/2 h pour pouvoir débuter : en 1/2 h, tu as le temps de comprendre la logique : tu n'as alors besoin que de tes yeux et tes petites mimines, tu parcours cette page et tu fais des essais : Code LateX. Sachant que depuis il est possible de faire interpréter correctement une formule par ton navigateur, au lieu de mettre ^3
a^3=\left(\cos \frac{2\pi}{5}+i\sin \frac{2\pi}{5}\right)^3
Avec les balises :
[tex]a^3=\left(\cos \frac{2\pi}{5}+i\sin \frac{2\pi}{5}\right)^3[/tex]
Si je ne mets que des parenthèses simples au lieu de \left et \right qui les grossissent, c'est moins beau :
[tex]a^3=(\cos \frac{2\pi}{5}+i\sin \frac{2\pi}{5})^3[/tex]
Sigma c'est \sum : [tex]\sum[/tex]
Tous les mots-clés sont précédés de \... pour être interprétés correctement.

- soit tu veux aller vite. Mais alors il y a un prérequis essentiel : l'environnement Java doit être installé sur ta machine...
Tu le sais immédiatement en cliquant sur le bouton Insérer une équation : l'éditeur maison doit se lancer qui fera- presque - le boulot à ta place. Un petit fichier d'aide sera alors aussi disponible pour t'aider à débuter... La majorité d'entre nous utilise la première méthode : on contrôle davantage ce qu'on écrit...

@+

freddy · 19-11-2016 21:20:12

Salut,

pour la Q4, c'est assez immédiat par les formules d'additions.

On a : $\cos \frac{2\pi}{5}\times \cos \frac{4\pi}{5}+\sin \frac{2\pi}{5}\times \sin \frac{4\pi}{5}=\cos \frac{(2-4)\pi}{5}=\cos \frac{2\pi}{5}$

et $\cos \frac{2\pi}{5}\times \cos \frac{4\pi}{5}-\sin \frac{2\pi}{5}\times \sin \frac{4\pi}{5}=\cos \frac{(2+4)\pi}{5}=\cos \frac{(10-4)\pi}{5}=\cos \frac{4\pi}{5}$

PS : je vois de voir que yoshi l'avait mentionné, oups !

Dernière modification par freddy (19-11-2016 21:24:42)

yoshi · 19-11-2016 21:45:05

RE,

Pô grave...
Mais je voudrais bien que tu me dises ce que vient faire là cette question...
Supprimons-la : ça change quoi à l'exo ?
J'ai horreur des questions inutiles...

Ou alors, j'ai raté quelque chose dans la suite...

@+

freddy · 19-11-2016 22:30:28

Re,

je vais regarder mais je viens de trouver sur le B. O. Spécial de septembre 2011 que la formule d'Euler doit être présentée et utilisée pour compléter les formule d'additions vues en Première ... La miss a un peu de retard ou c'est le prof qui n'est pas en avance.

Dans la programme mis en place pour la rentrée de 1971, pgm qui a dû vivre une dizaine d'année je pense, la formule de Moivre était présentée et utilisée en TC (j'ai encore mes trois manuels de maths de l'époque). En supplément, on avait celle d'Euler aussi.

Donc je vais regarder le pb avec ce qu'elle était censée savoir (Moivre et Euler et ta traduction) pour voir tous les liens avec la Q4 (qui était peut-être un moyen de glaner deux points facilement donnés par le prof pour ne pas désespérer les élèves ou de vérifier qu'ils connaissaient leurs formules basiques d'addition et de soustraction d'arc).

A plus !

soso1 · 19-11-2016 23:03:11

Bonsoir,

@Freddy,
Nous avons quasiment 6-7 semaines de retard sur le programme.Le remplacement de l'enseignant s'est fait tardivement. A partir du 25/11 , on se retrouve à nouveau sans cours de Maths, jusqu'à nouvel ordre.Le prof actuel va très très vite,certainement pour combler le retard.Pour répondre sur le sujet des complexes, l'année dernière ont a bien vu quelques formules de duplication.
Je me suis fais à l'idée de travailler de façon autodidacte pour avoir une chance de se présentée dans de bonnes condition le jour de l'examen. le Coef est de 7ou 8,autant ne pas prendre les choses à la lègére ,au risque de le regretter par la suite.

A+

freddy · 20-11-2016 06:38:44

Salut jeune fille,

tu as parfaitement raison et viens nous voir autant que nécessaire, avec yoshi, tibo et bcp d'autres, on t'aidera. Suffisait que tu le précises au début. Consulte autant que nécessaire la Bibmath, Google (assez bien fait en math) et surtout, tes manuels, et viens nous poser toutes les questions que tu veux. Avec du travail et de la volonté, aucune raison que tu n'y arrives pas.

Courage !

yoshi · 20-11-2016 08:02:42

Bonjour;

Dans ce cas soso1, je peux te proposer deux choses :
1. Faire l'acquisition du bouquin "Interros des Lycées" :
http://www.nathan.fr/catalogue/fiche-pr … 2091880945
Tout ce qui est dit est vrai : j'ai beaucoup bossé en autodidacte avec, lorsque j'avais décidé, PEGC Math Physique, de retrouver mon niveau pour passer le CAPES et aussi parce que, concomitamment, j'avais promis à mes 3e (pour ceux qui le souhaitaient bien sûr) un "SAV de 3 ans Pièces et Main d'oeuvre", là, j'étais obligé d'assurer...
Tu peux aussi te le procurer d'occase à 4,99 € : https://www.amazon.fr/Interros-Lyc%C3%A … 209186062X
Je recommande systématiquement ce bouquin : les corrigés sont détaillés et non bouclés (bâclés) en 3 lignes. Les exos sont minutés c à d que l'on donne un temps moyen estimé nécessaire à leur réalisation... Un must ! Je n'ai pas de mots assez forts pour dire combien je l'apprécie !

2. Je peux t'envoyer les archives TS (interros - DM avec corrigés) zippées d'un copain... Ce sont les vieux programmes d'il y a 20 ans mais ça n'a pas trop bougé : les actuels sont plutôt élagués par rapport aux anciens (même en .zip, il y a en a quand même pour 7,3 Mo; donc, il faudra que je voie comment - si ça t'intéresse - te les faire parvenir). Une fois dézippés, les fichiers sont lisibles avec OpenOffice (ou probablement avec LibreOffice, mon pote est lui aussi un adepte du logiciel libre).

@+

Dernière modification par yoshi (20-11-2016 12:00:12)

soso1 · 20-11-2016 18:46:06

Merci,,bcp à vous deux c'est vraiment gentil

Je tacherais d'utiliser au mieux les ressources Bibmath ainsi que vos aides :) Depuis quelques temps, je me passionne pour les vieux bouquins achetés dans des brocantes ,les exercices sont à mon sens plus pointu. Je suis plus à l'aise dans la résolution de problème " ancien" que ceux d'aujourd'hui. C'est frustrant!Je n'arrive pas à comprendre les raisons,,,
@ Yoshi "Interros des Lycées" je me le procure rapidement :)

Une question plutôt technique sur Java sera posée,dans une autre catégorie prochainement.
Merci vous êtes gêniaux!

freddy · 20-11-2016 23:50:56

Re,

les idées cachées des premières questions sont à mon avis les suivantes.
On pose $a$ nombre complexe de module unitaire et d'argument égal à $\frac{2\pi}{5}$
Rappel : $\overline{a}$ est le nombre complexe conjugué de $a$, de même module et d'argument opposé.

Par de Moivre ou Euler, on a $a^5=1$
Par conséquent, $1+a+a^2+a^3+a^4=\frac{a^5-1}{a-1}=0$ puisque $a \ne 1$

Donc $a+a^2+a^3+a^4=-1 \Leftrightarrow a\times (1+a+a^2+a^3)=-1 \Leftrightarrow a\times \frac{a^4-1}{a-1}=-1 $

soit $a^4-1=\frac{1-a}{a} \Leftrightarrow a^4=\frac{1-a+a}{a} \Leftrightarrow a^4=\overline{a}$, puisque $a\times \overline{a}$ est égal au carré de son module, soit 1.

De plus, on a $a+\overline{a}=2\cos \frac{2\pi}{5}$, les parties imaginaires s'annulant.

Par ailleurs, $a^4=\overline{a} \Leftrightarrow \overline{a}\times a\times a^3=\left(\overline{a}\right)^2 \Leftrightarrow a^3=\overline{a^2}$

Donc $a+a^2+a^3+a^4 = a+\overline{a} + a^2+\overline{a^2}=2\cos \frac{2\pi}{5}+2\cos \frac{4\pi}{5}=-1$
On a donc déduit, comme demandé, l'égalité du texte.

Donc la Q4 sert à montrer qu'on connait ses formules d'addition et son cercle trigonométrique, les trois précédentes montrent son aisance avec l'usage des nombres complexes et de leur conjugué.

(je précise que dans tous les cas, je n'ai pas regardé les solutions ci-dessus pour trouver ma propre voie - les exo sont très intéressants).

Q - 5 dit qu'on admet que $1+a+a^2+a^3+a^4=0$ avec $a=\cos \frac{2\pi}{5}+i\sin \frac{2\pi}{5}$
Ceci permet de sauter les questions précédentes si on a eu des difficultés.

On pose $ v=a+a^{-1}$ et on doit établir une équation du second degré en v.

Petites remarques : $v=2\cos \frac{2\pi}{5}$ et $v^2=a^2+2+a^{-2}$

Donc on déduit de la première identité que ${a^2\times (a^{-2}+a^{-1}+1+a+a^2})=a^2\times (v+v^2-1)=0$
Puisque $a^2 \ne 0$ on en déduit $v^2+v-1=0$

Q - 6 cette équation admet deux racines notées $v_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

Puisque $2\cos \frac{2\pi}{5} \gt 0$ -cf. cercle trigonométrique - on en déduit que $2\cos \frac{2\pi}{5} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et donc $\cos \frac{2\pi}{5} = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$

Ensuite, sachant que $\sin^2 \frac{2\pi}{5} = 1-\cos^2 \frac{2\pi}{5} =1- \left (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5+\sqrt{5}}{8}$

Et toujours par un argument de signe, on a $\sin \frac{2\pi}{5} =\frac{\sqrt{10+2\times\sqrt{5}}}{4}$

Enfin, $\tan \frac{2\pi}{5} = \frac{\sin \frac{2\pi}{5}}{\cos\frac{2\pi}{5}} =\frac{\sqrt{10+2\times\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{2\sqrt{5}(1+\sqrt{5})^3}}{4}$
(sauf erreur !)

Bilan : sujet intéressant pour les enchaînements déductifs et pas trop long si on n'a pas à le coder sous Latex :-)

Dernière modification par freddy (21-11-2016 19:59:39)

soso1 · 22-11-2016 06:28:30

Bonjour,

EH ben décidément, tous les chemins mênent à Rome,:) je vais réviser prochainement cette méthode qui à l'air bien aussi!(merci) Sur ma copie j' ai utilisée Arg cité plus haut, c'est vrai qu'on y arrive plutôt facilement.
Hier, j 'ai appris le langage Latex grâce au précieux conseils de Mr YOSHI. Sans plus attendre voici la retranscription de la Q 3.

[tex]{ a }^{ 4 }+{ a }^{ 3 }{ +a }^{ 2 }+a=-1\quad \quad \Longleftrightarrow \quad \sum _{ n=1 }^{ 4 }{ { \left( a \right) }^{ n } } =-1\quad \quad \quad \\ \\ or\quad { a }^{ n }={ \left( cos\frac { 2\pi }{ 5 } +isin\frac { 2\pi }{ 5 } \right) }^{ n }=\left( cos\frac { 2n\pi }{ 5 } +isin\frac { 2n\pi }{ 5 } \right) \quad \quad \quad \quad n\epsilon z,\quad \quad Moivre\\ \\ \\ d'ou:\quad \quad \sum _{ n=1 }^{ 4 }{ { \left( cos\frac { 2n\pi }{ 5 } +isin\frac { 2n\pi }{ 5 } \right) } } \Longleftrightarrow \sum _{ n=1 }^{ 4 }{ { \left( cos\frac { 2n\pi }{ 5 } \right) } } +\quad i\sum _{ n=1 }^{ 4 } sin{ \left( \frac { 2n\pi }{ 5 } \right) }\\ \\ \\ \\ (cos\frac { 2\pi }{ 5 } +cos\frac { 4\pi }{ 5 } +cos(2\pi -\frac { 2\pi }{ 5 } )+cos(2\pi -\frac { 4\pi }{ 5 } )\quad )+\quad i(\quad sin\frac { 2\pi }{ 5 } +sin\frac { 4\pi }{ 5 } +sin(2\pi -\frac { 2\pi }{ 5 } )+sin(2\pi -\frac { 4\pi }{ 5 } )=-1\\ \\ \\ on\quad déduis\quad \quad 2\left( cos\frac { 2\pi }{ 5 } \right) +2\left( cos\frac { 4\pi }{ 5 } \right) \quad +i\times 0\quad =-1\quad \Rightarrow \quad cos\frac { 2\pi }{ 5 } +cos\frac { 4\pi }{ 5 } =-\frac { 1 }{ 2 } [/tex]

c est lisible maintenant,,,

@+

[EDIT]@yoshi
Je te propose
1. D'aérer ton texte : trouver une erreur de codage dans ce que tu as tapé, bonjour la douleur... Saute des lignes...
2. De ne pas mettre de texte dans ton code : l'interpréteur Latex transforme les formules, c'est dommage de faire pour du texte..
Si tu as absolument besoin de texte au milieu de tes formules alors utilises \text{}
3. Il n'y a pas besoin d'autant d'accolades...

Serais-tu passée par le "traducteur Chrome" signalé dans mon post précédent ? Mais en tout cas c'est un sacré progrès !!!!
Et ce doit être très gratifiant pour toi quand ça présente bien comme ça.
Si ça a été fait à la main, chapeau bas : c'est très long et moi j'aurais eu au moins 4/5 fautesc de syntaxe à corriger...

Voilà ton code allégé (et aéré !! Pour voir les formules, clique sur Modifier, puis annule quand tu auras lu) :
[tex] a^4+a^3+a^2 +a=-1\quad \Longleftrightarrow \quad \sum _{n=1}^4 a^n =-1[/tex]

Or [tex]a^n=\left(\cos\frac {2\pi}{5} +i\sin\frac {2\pi}{5}\right)^n[/tex] Moivre (*)

D'où : [tex] \sum _{n=1}^4 \left(\cos\frac {2n\pi}{5} +i\sin\frac {2n\pi}{5} \right) = \sum _{n=1}^{4}\cos\frac{2n\pi}{5}+ i\sum _{n=1}^{4} \sin\frac {2n\pi}{5}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex] \left[\cos\frac {2\pi}{5} +\cos\frac {4\pi}{5}+\cos\left(2\pi -\frac {2\pi}{5}\right)+\cos\left(2\pi -\frac {4\pi}{5}\right)\right]+ i\left[\sin\frac {2\pi}{5} +\sin\frac {4\pi}{5} +sin\left(2\pi -\frac {2\pi }{5}\right)+\sin\left(2\pi-\frac {4\pi}{5} \right)\right]=-1[/tex]

on en déduit : [tex]2\left(\cos\frac {2\pi}{5} \right) +2\left(\cos\frac {4\pi}{5}\right) \quad +i\times 0 =-1\quad \Rightarrow \quad \cos\frac {2\pi}{5} +\cos\frac {4\pi}{5} =-\frac {1}{2} [/tex]

(*)
La formule de Moivre c'est très précisément :
[tex]a^n=\left(\cos\frac {2\pi}{5} +i\sin\frac {2\pi}{5}\right)^n=\cos\frac {2n\pi}{5} +i\sin\frac {2n\pi}{5}[/tex]

Dernière modification par yoshi (22-11-2016 11:55:59)

freddy · 22-11-2016 07:05:46

Salut,

c'est pas mal. Quand tu sauras coder la main, ce qui s'apprend sans difficulté, ça ira plus vite et ce sera moins lourd :-)

yoshi · 22-11-2016 12:08:48

Salut,

@freddy
écriture bien plus simple : [tex]\tan \frac{2\pi}{5} =\sqrt{5+2\sqrt 5}[/tex]
(J'étais passé par l'écriture du carré de la tangente)

@soso1
Relis ton post précédent : j'ai retouché ton Latex pour ta culture...
Et aussi :
1. Laisse tomber le Mr
2. En français on écrit M. parce que Mr c'est l'abréviation de Mister et c'est de l'anglais ^_^

@+

soso1 · 22-11-2016 21:32:44

Bonsoir

@ Yoshi,
J'ai installée DAum et procédée par copier coller,j' ai écris quelques codes seulement repris de chez Wikibooks.

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#26 16-11-2016 05:51:19

Re : complexe et trigo

#27 16-11-2016 11:07:59

Re : complexe et trigo

#28 16-11-2016 20:01:44

Re : complexe et trigo

#29 16-11-2016 20:41:25

Re : complexe et trigo

#30 19-11-2016 21:20:12

Re : complexe et trigo

#31 19-11-2016 21:45:05

Re : complexe et trigo

#32 19-11-2016 22:30:28

Re : complexe et trigo

#33 19-11-2016 23:03:11

Re : complexe et trigo

#34 20-11-2016 06:38:44

Re : complexe et trigo

#35 20-11-2016 08:02:42

Re : complexe et trigo

#36 20-11-2016 18:46:06

Re : complexe et trigo

#37 20-11-2016 23:50:56

Re : complexe et trigo

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