complexe et trigo

soso1 · 12-11-2016 11:26:02

bonjour, tous le monde

j ai vraiment du mal a trouver la solution de cette exercice et bloque dés la premiere question
1)On pose a=cos(2pi/5) + isin(2pi/5). MONTRER que a^5=1
2)déduire que a^0+a^1 +a^2+a^3 +a^4=0
3 deduire que cos(2pi/5) + sin(2pi/5)= - 1/2

4) demontrer que: cos(2pi/5)cos(4pi/5)-sin(2pi/5)sin(4pi/5)= cos (4pi/5)
cos(2pi/5)cos(4pi/5)+sin(2pi/5)sin(4pi/5)=cos(2pi/5)
pour la premiere question
j ai factorisé a^5-1=0
a^5-1= (a-1)(a^4+a^3+ a^2+ a +1)
puis ( a-1) [(a^2 +1 )(a^2+a)+1)

je sais que i^2=-1 de cette factorisation je n arrive pas a trouver l'issue , je doute alors de cette idéé

merci

freddy · 12-11-2016 12:14:53

Salut Soso1,

de combien de manières différentes sais-tu écrire un nombre complexe ?
Connais tu cette notation $e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta ?$
Si oui, alors l'exo est assez simple.
A te lire !

Number17 · 12-11-2016 12:23:52

Bonjour,

En utilisant la formule d'Euler, tu trouve pour la 1):
a=cos(2pi/5) + isin(2pi/5)
Soit : e^i2pi/5
Aisément, tu trouves la réponse, en utilisant la formule de Moivre qui te donne e^{iθ^n}=cosnθ+isinnθ

soso1 · 12-11-2016 12:24:14

slt,
non je ne connais pas cette formule , je vais regarder un peu sur le net et reviens vers vous.
merci

soso1 · 12-11-2016 13:34:52

oui vous avez raison c 'est bcp plus simple avec cette formule :)

je trouve [ cos (2p1/5) +i sin(2pi/5)]^5=cos(2pi) +isin(2pi)=1+0=1 alors a^5=1
je peux deduire que a^5-1=(a-1)(a^4+a^3 +a^2 +a +1)=0

a-1=0 alors a=cos(2pi/5) +isin(2pi/5)=1 implique a-1 non égale à 0 car diff de 1
cl: (a^4+a^3 +a^2 +a +1)=0

je fais les autres questions merci en attendant

soso1 · 12-11-2016 15:50:58

bon jai fais: cos(2pi/5) +cos(4pi/5)= - 1/2 j ai posé X
je remarque que cos X + cos 2X = cos ( 2pi/3) est ce de cette facons qu il faut resoudre?

ou alors:-2 cos(X) -2cos(2X)= cos (o) ?

freddy · 12-11-2016 18:59:48

Re,

on te demande de déduire, donc faut trouver comment déduire le résultat des résultats précédant, pas calculer le résultat.
En outre, ce que tu écris est un "horreur" :-) ...

Dernière modification par freddy (12-11-2016 19:00:14)

soso1 · 12-11-2016 19:15:45

c est le cos 4pi/5 qui me pose pb :]

yoshi · 12-11-2016 20:21:55

Re,

Si tu as vu l'écriture exponentielle, il faut en rester à ce que te disait freddy.
Si tu n'as pas vu en cours la formule de Moivre, il ne faut pas anticiper...

Qu'avait dit freddy ?
Que quel que soit l'angle [tex]\theta[/tex] on peut noter [tex]\cos \theta+i\sin \theta =e^{i\theta}[/tex]
Donc [tex]\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}[/tex] s'écrit aussi [tex]e^{i\,2\pi/5}[/tex]
Or [tex]\left(e^x\right)^5 =e^{5x}[/tex] (Puissance d'une puissance)
Donc
[tex]a^5 =\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)^5=\left(e^{i\,2\pi/5}\right)^5=e^{i2\pi}=e^{i0} =e^0=1[/tex]

C'est clair ?

Ensuite
Q2
[tex] S=a^0+a^1+a^2+a^3+a^4 =1+a+a^2+a^3+a^4[/tex]
Ça ne te rappelle rien de ton cours sur les suites en 1ere ?

Q3
Franchement douteux. Veux-tu vérifier ton énoncé ?
Un petit calcul me donne [tex]\cos\frac{2\pi}{5}+\sin\frac{2\pi}{5}\approx 1,26[/tex]

Toi tu écris :

3 deduire que cos(2pi/5) + sin(2pi/5)= - 1/2

Y a un problème, quand même !!! Parce que sans calculs, je sais que le cos de[tex] \frac{2\pi}{5}[/tex] est >0, le sin est >0, pourquoi leur somme serait-elle négative ?

@+

soso1 · 12-11-2016 20:52:24

dsl yoshi
je me suis trompée en recopiant l'enoncé cest cos 2pi/5 +cos 4pi/5=-1/2

soso1 · 12-11-2016 21:57:37

merci pour les details yoshi
j essaie de retrouver cos (4pi/5) je ny arrive pas

yoshi · 13-11-2016 08:16:29

Bonjour,

J'aimerais que tu répondes à la question que je t'ai posée pour résoudre la Q2...
La méthode que je t'y propose fait appel aux suites (géométriques).
Alors ?

Ensuite la Q3 j'ai cherché un sacré temps jusqu'à ce que je me rende compte de l'erreur d'énoncé.
Celle-ci rectifiée, après quelques tâtonnements, j'ai trouvé de tête, mais il faut reconnaître que le "Déduire" est assez subtil...
Donc quand tu as montré la Q2 tu auras comme point de départ : [tex]a^0+a^1+a^2+a^3+a^4 =0[/tex]
Or a^0 = 1.
Donc [tex]a^1+a^2+a^3+a^4 = -1[/tex]
Maintenant, je me suis dit :
* pour arriver à -1/2, il faut diviser par deux...
* ça tombe bien il y a 4 termes, donc ils doivent être égaux deux par deux.
* mais il y a un problème de taille ; séparer les cosinus des sinus !

A partir de là, j'ai pensé à écrire -1, comme un complexe, avec une partie réelle et une partie imaginaire [tex]-1 +i \times 0[/tex]
Puis j'ai récrit (mentalement) [tex]a^1+a^2+a^3+a^4[/tex] comme somme de complexes et donc je suis arrivé çà :
[tex]\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}+i\sin\frac{4\pi}{5}+\cos\frac{6\pi}{5}+i\sin\frac{6\pi}{5}+\cos\frac{8\pi}{5}+i\sin\frac{8\pi}{5}=-1+i\times 0[/tex] (1)

Alors petite explication (au cas où) :
[tex]a^2=\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)^2=\left(e^{2\pi/5}\right)^2=e^{4\pi/5}=\cos\frac{4\pi}{5}+i\sin\frac{4\pi}{5}[/tex]
Idem pour [tex]a^3[/tex] et [tex]a^4[/tex]
Ok ?

Reprenons.
Tu vas écrire le 1er membre de 1 comme un seul nombre complexe : [tex](...)+i(...)[/tex]
Après tu me diras ce que vaut la partie réelle de ce nombre.

Ensuite, j'ai vu (toujours mentalement) que
[tex]\frac{2\pi}{5}+\frac{8\pi}{5}=\frac{10\pi}{5}=2\pi[/tex]

[tex]\frac{4\pi}{5}+\frac{6\pi}{5}=\frac{10\pi}{5}=2\pi[/tex]

Voilà en principe tu as tout ce qu'il faut, essaie de continuer...

@+

[EDIT]Je t'ai non seulement expliqué comment j'ai fait, mais aussi pourquoi... ce qui m'a fait penser à faire comme ça...
C'est très important parce que c'est ce qui vous manque et qu'on ne vous explique pas assez : le cheminement de la pensée qui conduit à l'idée ! Après, c'est une histoire de "technique"

Dernière modification par yoshi (13-11-2016 08:58:54)

freddy · 13-11-2016 08:36:41

Salut yoshi,

ouaip, le "déduire ..." est un peu raide. Il doit manquer une étape, une question intermédiaire, quelque chose que soso a peut-être oublié d'indiquer.

soso1 · 13-11-2016 11:07:23

Bonjour,bonjour
Pour la question,2 j avais remarquée la suite géométrique et que la somme des a^1 +a^2 +a^3 +a ^4=-1
j ai fais au brouillon a^1 +a^2 +a^3 +a ^4=-1
2 2 2 2 2
Venant de découvrir cette formule de Moivre , gràce à Mr Freddy malheureusement je me suis égarée a faire des calculs algébriques, des changements de variable pendant des heures, pensant que cos (4pi/5) allait tôt ou tard apparaître ,en vain.Je suis tout a fais d 'accord avec toi YOSHI sur la pensée qui conduit à l'idée .En cours tous va très vite et parfois on ne prends pas le temps de vous aiguiller vers le bon chemin ...

En tous cas vous êtes fidêles vous freddy et yassine à vôtre réputation d’extraterrestre des Maths!!! Merci :)
je continuerai un peu plus tard l'exos,,,,

yoshi · 13-11-2016 11:59:21

Re,

a^1 +a^2 +a^3 +a ^4 =-1
2 2 2 2 2 j avais remarquée la suite géométrique et que la somme des a^1 +a^2 +a^3 +a ^4=-1

Je voudrais bien voir ce que tu as fait de cette question 2, parce que ne comprends pas ce que tu veux faire de cette liste 2...

Venant de découvrir cette formule de Moivre

Ce n'est pas freddy qui t'a aiguillée sur la formule de Moivre, parce que tu n'avais pas à l'utiliser, ne la connaissant pas...
freddy t'a juste dit (et avec raison) que tu devais simplement utiliser la formule d'Euler proposant une écriture exponentielle d'un nombre complexe :
[tex]\forall\,\theta \in\mathbb{R},\;e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]
qu'il faut savoir utiliser (comme beaucoup de formules) dans les 2 sens.
Dans mon bouquin, dans le chapitre "Nombres comples" figure un paragraphe nommé :
Formes trigonométriques d'un nombre complexe
ce que, à l'évidence, tu as étudiés...
Et le paragraphe suivant se nomme, lui
Notation exponentielle d'un nombre complexe
Sans l'emploi de cette écriture exponentielle, le problème n'est que très "douloureusement" faisable : cette formule doit être dans ton cours...
Et la référence pour toi n'est pas Internet, mais ton livre de Maths. Rassure-moi, t'en as bien un quand même ? ^_^
Et ce n'est pas de l'enseignement de spécialité !

Es-tu sure qu'entre la Q2 et la Q3, tu n'as pas oublié de noter un petit quelque chose, ? Parce que, brutalement comme ça, pour un élève qui ne lève pas le nez du guidon, et qui ne sait pas raisonner de façon maligne face à un pb, trouver ce que je t'ai expliqué est loin (même très loin d'être évident !)
Souviens-toi à l'avenir des 3 verbes qui sont le fondement des mathématiques : observer, comparer, déduire...

@+

yoshi · 15-11-2016 15:43:45

Re,

Je reviens sur la question 1.
Je t'ai écrit au post précédent :

Sans l'emploi de cette écriture exponentielle, le problème n'est que très "douloureusement" faisable

Bin non, j'avais tort, c'était même particulièrement simple...
La question était : montrer que [tex]a^5 = 1[/tex] avec [tex]a= \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)[/tex]

Il n'y avait en effet aucunement besoin d'utiliser l'écriture exponentielle [tex]a=e^{i2\pi/5}[/tex]...
En effet un nombre complexe sous forme trigonométrique se caractérise par son module [tex]r=|a|[/tex] (ici 1) et son argument [tex]\theta=\arg(a)[/tex], ici [tex]\theta=\frac{2\pi}{5}[/tex].

Or, il y a une propriété très simple à utiliser : [tex]\arg(z^n)=n \arg(z)[/tex]... Celle-là, tu l'as vue, c'est sûr !

En conséquence [tex]a^5[/tex] est tel que
[tex]r=|a^5|=|a|^5 = 1^5 = 1[/tex]
[tex]\arg(a^5)=5\arg(a)= 5 \times \frac{2\pi}{5}=2\pi[/tex]
Et donc
[tex]a^5=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1+i\times 0 = 1[/tex]

Question 3.
Je t'ai écrit ;

Alors petite explication (au cas où)
[tex]a^2=\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)^2=\left(e^{2\pi/5}\right)^2=e^{4\pi/5}=\cos\frac{4\pi}{5}+i\sin\frac{4\pi}{5}[/tex]

Donc, je reprends, de façon générique :
le module de a est r=1, et donc le module de [tex]a^n[/tex] est [tex]r^n=1[/tex]
l'argument de a est [tex]\frac{2\pi}{5}[/tex], donc l'argument de [tex]a^n[/tex] est [tex]\frac{2n\pi}{5}[/tex]
Et donc [tex]a^n=\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)^n=\cos\frac{2n\pi}{5}+i\sin\frac{2n\pi}{5}[/tex]
Pour [tex]a^2[/tex], n=2,
pour [tex]a^3[/tex], n =3,
pour [tex]a^4[/tex], n = 4.

Toujours pas besoin de l'exponentielle...
Mieux vaut donc ne pas en parler si tu ne l'as pas vu (cela dit, cela revient au même) : ne pas prendre le risque de surprendre ton prof en "allant plus vite que la musique"...

@+

soso1 · 15-11-2016 17:54:51

Bonjour, YOSHI
Pour répondre à la question sur la numéro 2, j' ai remarqué la suite géométrique: a^5=1 -} a^5-1=(a-1)(a^4+a^3 +a^2 +a +1)
pour a diff de 1. d'ou a^5-1 \ a-1= 1-a^5/1-a = a^4+a^3 +a^2 +a +1
CL: a^4+a^3 +a^2 +a +1=0 (E)

A partir de (E): a^4+a^3 +a^2 +a=-1 équivaut à e^(8ipi/5) +e^(6ipi/5)+e^(4ipi)+e^(2ipi)/5=-1
j' ai en tête que les puissances sont paire et qu'on peut composé, afin de séparer les cos() des sin(), de plus on est sur du Modulo(2pi).
je considére la somme et note: (S)=-1
( S ) e^(6ipi/5)+e^(4ipi/5) + e^(8ipi/5) +e^(2ipi)/5 puis (S) cos(n2pi/5) +(S) i sin(n2pi/5) (F*) (n allant de 1 à4)

(F*): (S)cos(2pi/5) +cos(4pi/5) +cos(6pi/5) +cos(8pi/5) = (S)[cos(2pi/5)+cos(8pi/5)]+[cos (6pi/5)+cos(4pi/5)]=2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5)
i(S) (sin(2pi/5) +sin(4pi/5) +sin(6pi/5) +sin(8pi/5)) =i(S)[ sin(2pi/5) +sin(8pi/5)] +[sin(6pi/5) +sin(4pi/5)]=0i

Finalement,les sinus s annulent il ne reste plus qu'une somme à considérer, sachant que l'hypothèse de départ S= a^4+a^3 +a^2 +a=-1
il suffit de réécrire 2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5)=-1 implique 2(cos(2pi/5+ cos(4pi/5) =-1
CL: cos(2pi/5)+ cos(4pi/5)=-1/2

Pour vous répondre sur cette question plus que subtile:( limite casse tête :) .Aucune question intermédiaire ne figure dans l'énoncé, celui ci a été recopiée comme tel .Enfin,j espère simplement qu'aucune erreur a été faites dans mon raisonnement, je dois rendre ce DM vendredi Pour les dernières questions ça attendra demain.:(
Merci pour vôtre aide.

soso1 · 15-11-2016 17:56:45

oups vous m'aviez déja écrit,, alors j en profite pour savoir si mon raisonnement est refutable

yoshi · 15-11-2016 18:25:10

Re,

Q2
Je ferais
[tex]S=1+a+a^2+a^3+a^4[/tex] Somme des termes d'une suite géométrique de 1er terme 1 et dev raison a ; il y a 6 termes
Donc [tex]S=\frac{1-a^5}{1-a}=\frac{1-1}{1-a}=0[/tex] puisque [tex]a^5=1[/tex]

Q3
Laisse tomber les exponentielles... Regarde ce que je t'ai écrit dans mon message précédent (#16).
Ta somme est
[tex]\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}+i\sin\frac{4\pi}{5}+\cos\frac{6\pi}{5}+i\sin\frac{6\pi}{5}+\cos\frac{8\pi}{5}+i\sin\frac{8\pi}{5}=-1[/tex]
Soit encore :
[tex]\left(\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}+\cos\frac{6\pi}{5}+\cos\frac{8\pi}{5}\right)+i\left(\sin\frac{2\pi}{5}+\sin\frac{4\pi}{5}+\sin\frac{6\pi}{5}+i\sin\frac{8\pi}{5}\right)=-1+i\times 0[/tex]

Et on en déduit : [tex]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}+\cos\frac{6\pi}{5}+\cos\frac{8\pi}{5}=-1[/tex]
Et là il fallait voir
[tex]\cos\left(\frac{8\pi}{5}\right)=\cos\left(2\pi-\frac{2\pi}{5}\right)=\cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right)[/tex] à [tex]2\pi[/tex] près...
Or, [tex]\cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right)= \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)[/tex]
Même procédé avec les deux autres.
Et donc oui, tu arrives à : [tex]2\left[\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)\right]=-1[/tex]
Et après division par 2, on tombe sur ce qui est demandé...

Maintenant je vais aller examiner cette question 4 qui, hors Langage Latex utile pour les formules, m'arrache les yeux...

@+

[EDIT] La question 4 est vraiment décevante de facilité... Elle n'a pas grand chose à voir avec AQ1, Q2, Q3 et arrive là comme "un cheveu sur la soupe"...
Voir formules "d'addition"...
Il n'y aurait pas encore une question par hasard ?

Dernière modification par yoshi (15-11-2016 18:38:07)

soso1 · 15-11-2016 18:52:19

Re

oui je regarde actuellement la méthode que vous utilsé avec( Arg) , .je suis preneuse sa l 'air bien plus simple....Je me suis cassée la tête en séparant les cos des sin en les sommant.En faisant intervenir des sommes, mon resultat est il pour autant juste?, bizzarement je retrouve pas mal de pt commun dans ta réponse.Et en plus je tombe sur la meme CL
@+

soso1 · 15-11-2016 19:02:02

sI il y en deux autre Yoshi 5 et 6, le prof nous as dis de pas les faire apparemment c est très compliqué.

je vais tenté la 5 a titre personnel la n 6 ne m'attire pas si tu veux , je l'ai mets en ligne?

yoshi · 15-11-2016 19:30:30

Salut,

Oui, vas-y pour le plaisir : je pense qu'il veut arriver à trouver les valeurs exactes de [tex]\cos \frac{2\pi}{5}\text{ et }\sin \frac{2\pi}{5}[/tex]
Je re-regarde précisément ce que tu as fait...

@+

yoshi · 15-11-2016 19:49:14

RE,

a^5-1 \ a-1= 1-a^5/1-a = a^4+a^3 +a^2 +a +1
Tu as pensé juste, mais ce que tu as écrit est faux : priorité des opérations non respectées !
Juste aurait été :
(a^5-1) \(a-1)= (1-a^5)/(1-a) = a^4+a^3 +a^2 +a +1 Eh oui, les parenthèses n'ont pas été inventées pour faire "joli" !
Ensuite à quoi sert l'étape ;
(a^5-1) \(a-1)= (1-a^5)/(1-a) = ... ?
Réponse : à rien !

Enfin tu pouvais t'arrêter à
[tex]a^5-1=(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1) = 0[/tex]
Et dire que pour qu'u, produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul (c'est là-dessus qu'est basée la résolution de n'importe quelle équation-produit : tu as commencé ça en 3e... T'as oublié ?)
Donc, comme a n'est pas égal à 1, a-1 n'est pas égal à 0, et donc [tex]a^4+a^3+a^2+a+1 = 0[/tex]

Q3
Je ne comprends rien à ce que tu fais. Penses-tu que ton prof trouvera le courage de décrypter une présentation pareille ? Mets-toi à sa place : il a plus de 30 copies à corriger, et s'il, y en a la moitié mal présentées et touffues, ça va lui prendre combien de temps ???

Et à la fin, bim !, une bonne affirmation les sinus s'annulent... Justification ?

@+

freddy · 15-11-2016 22:52:11

@yoshi,

ok pour le petit rappel "module - argument" de $z^n$, mais on flirte dangereusement avec la formule de de Moivre et celle d'Euler, tu ne trouves pas ?
Par contre, c'est en effet plus en phase avec le niveau <=> questions de cours que la miss (?) a l'air d'avoir bien oubliées :-(

soso1 · 15-11-2016 23:34:50

re
pour la question 1-2. je suis tout à fais d'accord avec toi pour être honnête j ai volontairement détaillée les choses pour te montrer qu' il s'agissait bien d'une suite géométrique en réponse à l'une de tes questions que voici :)

"J'aimerais que tu répondes à la question que je t'ai posée pour résoudre la Q2...
La méthode que je t'y propose fait appel aux suites (géométriques).
Alors ?"
sur ma copie figure précisément a^5=1 -} a^5-1=(a-1)(a^4+a^3 +a^2 +a +1)=0 a diff 1 CL:a^4+a^3 +a^2 +a +1=0

Q3 y a quelques passages sur détaillée qui ne seront pas dans ma copie ,j insiste bien c'est vraiment volontaire ....sur ma copie c'est moins dense
Merci en tous cas pour ton aide et de ton approche constructive.

Je suis en train de finir la question 5 qui est en réalité un exercice entier :) je poste la question ce soir après l'avoir finie...

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 12-11-2016 11:26:02

complexe et trigo

#2 12-11-2016 12:14:53

Re : complexe et trigo

#3 12-11-2016 12:23:52

Re : complexe et trigo

#4 12-11-2016 12:24:14

Re : complexe et trigo

#5 12-11-2016 13:34:52

Re : complexe et trigo

#6 12-11-2016 15:50:58

Re : complexe et trigo

#7 12-11-2016 18:59:48

Re : complexe et trigo

#8 12-11-2016 19:15:45

Re : complexe et trigo

#9 12-11-2016 20:21:55

Re : complexe et trigo

#10 12-11-2016 20:52:24

Re : complexe et trigo

#11 12-11-2016 21:57:37

Re : complexe et trigo

#12 13-11-2016 08:16:29

Re : complexe et trigo

#13 13-11-2016 08:36:41

Re : complexe et trigo

#14 13-11-2016 11:07:23

Re : complexe et trigo

#15 13-11-2016 11:59:21

Re : complexe et trigo

#16 15-11-2016 15:43:45

Re : complexe et trigo

#17 15-11-2016 17:54:51

Re : complexe et trigo

#18 15-11-2016 17:56:45

Re : complexe et trigo

#19 15-11-2016 18:25:10

Re : complexe et trigo

#20 15-11-2016 18:52:19

Re : complexe et trigo

#21 15-11-2016 19:02:02

Re : complexe et trigo

#22 15-11-2016 19:30:30

Re : complexe et trigo

#23 15-11-2016 19:49:14

Re : complexe et trigo

#24 15-11-2016 22:52:11

Re : complexe et trigo

#25 15-11-2016 23:34:50

Re : complexe et trigo

Pied de page des forums