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Gabriel

Invité

Coefficients binomiaux

Bonjour

Je bloque sur une partie de mon DM.

Je dois "donner trois polynômes P0, P1 et P2 tels que pour tout entier p compris entre 0 et 2 et tout entier n>=p :
Pp(n) = ( n / p )

Alors j'ai trouvé que P0(n) = ( n / 0 ) = 1
que P1(n) = ( n / 1 ) = n
et que P2 = ( n / 2 )

Mais je ne sais pas comment trouver des polynômes à partir de là.

Merci d'avance pour votre aide

Fred

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Re : Coefficients binomiaux

Bonjour,

  Tu y es presque. Pour $P_0$, tu dois trouver un polynôme qui vaut $1$  sur tous les entiers $n\geq 0$.
Le polynôme $P_0(x)=1$ convient (ici, on a donc besoin uniquement de considérer un polynôme constant).

De même, pour $P_1$, tu dois trouver un polynôme $P_1$ qui vaut $n$ en tout entier $n\geq 1$. Le polynôme $P_1(x)=x$ convient.

Pour $P_2$, c'est un peu plus compliqué, car ton expression $\binom n2$ n'apparait pas immédiatement comme une expression polynomiale en $n$. Ne l'aurais tu pas calculer dans un autre exercice??? (j'imagine que tu es en première...).

F.

Gabriel

Invité

Re : Coefficients binomiaux

Merci pour votre aide
Pour P2, j'ai trouvé que, comme un coefficient binomial ( n / p ) = ( n-1 / p ) + ( n-1 / p-1 )

( n / 2 ) = ( n-1 / 2 ) + ( n-1 / 1 )
            = ( n-1 / 2 ) + n-1

Mais après je bloque ...

Fred

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Re : Coefficients binomiaux

Peux-tu me dire en quelle classe tu es???

Gabriel

Invité

Re : Coefficients binomiaux

Je suis en Terminal, notre prof nous as donné un Dm portant sur les coefficients binomiaux mais là j'ai juste mis la première partie d'un exercice qui m'empêche de faire le reste.

Voici tout l'exercice :

1. Celui que j'ai donné

2. Déterminer 3 nombres α0, α1 et α2 tels que pour tout réel x :
x² = somme de αp*Pp(x) pour p allant de 0 à 2

3. En déduire un polynôme S2 tel que pour tout entier naturel n :
la somme de k² = S2(n) pour k allant de 0 à 2

Fred

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Re : Coefficients binomiaux

Ah! Si tu es en Terminale, c'est plus facile qu'en première! J'imagine que tu as déjà vu le raisonnement par récurrence. Alors je te propose de démontrer par récurrence sur $n\geq 2$ que
$$\binom n2=\frac{n(n-1)}{2}.$$

Cette formule est déjà vraie pour $n=2$, et pour l'hérédité, tu pourras t'appuyer sur la formule de Pascal que tu énonces plus haut!

F.

Gabriel

Invité

Re : Coefficients binomiaux

D'accord mais comment faire pour justifier que je veux démontrer ça, d'où sort le n(n−1)/2 ?

Fred

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Re : Coefficients binomiaux

Tu connais j'imagine la formule donnant la somme des $n$ premiers entiers (oui, je suis sûr que tu la connais, tu as déjà vu les suites arithmétiques!). Et bien on peut s'y ramener avec la formule de Pascal. Si je reprends ce que tu as écrit, on a

$$\binom n2=(n-1)+\binom{n-1}2.$$

Je recommence : en utilsant exactement la même méthode, on a

$$\binom n2=(n-1)+(n-2)+\binom{n-2}2.$$

On recommence ceci $n-2$ fois :

$$\binom n2=(n-1)+(n-2)+(n-3)+\dots+1=\frac{n(n-1)}2.$$

La récurrence que je te propose est simplement une façon rigoureuse d'écrire "on recommence ceci $n-2$ fois".

F.

Gabriel

Invité

Re : Coefficients binomiaux

Alors, j'ai essayé de démontrer cette formule :

Supposons que ( n / 2 ) = n(n−1)/2 soit vrai
Démontrons que ( n+1 / 2 ) = ((n+1)n)/2 est vrai

Selon la formule de pascal ( n+1 / 2 ) = ( n / 2 ) + ( n / 1 ) = n(n−1)/2 +n = n(n-1)/2 + 2n/2 = (n(n−1)+2n)/2 = (n²-n+2n)/2 = (n²+n)/2
= ((n+1)n)/2

Après ça, comment trouver le polynôme ?

Mais après, comment arriver à

Fred

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Re : Coefficients binomiaux

Je pensais que tu avais compris la démarche pour le polynôme...
Tu veux que $P_2(n)=n(n-1)/2$. Il suffit donc de choisir $P_2(x)=x(x-1)/2$...

F.

Gabriel

Invité

Re : Coefficients binomiaux

J'ai un peu réfléchi, j'ai trouvé le polynôme.
Je vous remercie beaucoup pour votre aide :D