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Lapin

Invité

1èreS Exercice sur les vecteurs

Bonjour,
Cela fait 1h que je suis bloqué sur cet exercice de mon DM..

Énoncé :
E, F et G trois points non alignés.
I et J sont deux points vérifiant : [tex] \overrightarrow{GI} = {-}\frac{7}{3}\overrightarrow{GF}[/tex] et [tex] \overrightarrow{EJ} = \frac{10}{3}\overrightarrow{EG} [/tex]
Démontrer que les droites (EF) et (IJ) sont parallèles.

Donc, j'ai fait ma figure et j'ai cherché les vecteurs de chaque droite :
[tex] \overrightarrow{IJ} = {-}\frac{7}{3}\overrightarrow{GF} + \overrightarrow{GJ} [/tex]
[tex] \overrightarrow{EF} = \frac{10}{3}\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{JF} [/tex]

Avec Thalès, sur la figure on a,
[tex] \overrightarrow{GI} = {k}\overrightarrow{GF} [/tex]
et [tex] \overrightarrow{GJ} = {k}\overrightarrow{GE} [/tex]

Je cherche à prouver que [tex] \overrightarrow{IJ} = {k}\overrightarrow{EF}  [/tex] ou inversement. Mais je n'y arrive pas..

Merci d'avance pour votre aide précieuse.

tibo

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Re : 1èreS Exercice sur les vecteurs

Bonjour,

En effet il faut montrer qu'il existe $k$ un réel non nul tel que $\displaystyle  \overrightarrow{EF} = {k}\overrightarrow{IJ}$

Pour ce faire, je te propose la décomposition suivante. En utilisant la relation de Chasles, on a
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EJ}+\overrightarrow{JI}+\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GF}$

Lapin

Invité

Re : 1èreS Exercice sur les vecteurs

Re,

Je ne comprends pas comme tu arrive à ça.
De plus pourrais-tu me donner plus d'indices ??

tibo

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Re : 1èreS Exercice sur les vecteurs

Bon 2 questions avant :
- En quelle classe es-tu?
- Connais-tu la relation de Chasles?

Lapin

Invité

Re : 1èreS Exercice sur les vecteurs

Je suis en 1S,

Je connais la relation de Chasles mais pour [tex] \overrightarrow{EF} [/tex] , je ne trouve que 2 termes et non 4..
A force de tourner autour du DM, je pense avoir perdu quelques neurones..

tibo

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Re : 1èreS Exercice sur les vecteurs

Mais non réfléchir n'a jamais fait perdre de neurone. Bien au contraire !

Reprenons :
Effectivement à la base la relation de Chalsles est $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$
Mais on peut généraliser à $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{C_1C_2}+\overrightarrow{C_2C_3}+...+\overrightarrow{C_nB}$

Dernière modification par tibo (06-11-2016 16:59:15)

Lapin

Invité

Re : 1èreS Exercice sur les vecteurs

Je te suis !

Donc on a [tex] \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EJ} + \overrightarrow{JI} + \frac{10}{3}\overrightarrow{GF} [/tex] en essayant d'arranger ?

tibo

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Re : 1èreS Exercice sur les vecteurs

Très bien
Remplace $\overrightarrow{EJ}$ aussi.
Et réutilise Chasles pour simplifier.

(Je me rend compte que ce n'était peut-être pas la décomposition la plus efficace. Mais bon tant pis, ça fonctionne quand même.)

Lapin

Invité

Re : 1èreS Exercice sur les vecteurs

J'y suis arrivé, tu me diras si je me suis trompé !

[tex] \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EJ} + \overrightarrow{JI} + \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{GF} [/tex]
[tex] \overrightarrow{EF} = \frac{10}{3}\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{JI} + \frac{10}{3}\overrightarrow{GF} [/tex]
[tex] \overrightarrow{EF} = \frac{10}{3}\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{JI} [/tex]
[tex] \overrightarrow{IJ} = {-}\frac{7}{3}\overrightarrow{EF} [/tex]

C'est super long avec l'écriture des maths ! Ai-je juste ?

tibo

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Re : 1èreS Exercice sur les vecteurs

Très bien

Lapin

Invité

Re : 1èreS Exercice sur les vecteurs

J'ai fait une faute, le "moins" à la fin n'a pas lieu d'être.
Je te remercie de ton aide, je m'en serais sûrement pas sorti sinon.. :)