Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Melano

Invité

Suite et Matrice

Bonjour à tous,

Cela fait des jours que je tourne en rond et je pense avoir identifié le problème mais j'ai besoin d'éclaircissements s'il vous plait.

http://hpics.li/6577908

Comme je comprends la chose, M est une matricé carré en l’occurrence de dimension 2, mais il en existe plusieurs.

http://hpics.li/a8e9fd9
http://hpics.li/ad3027c

Cependant j'en choisis une, je calcule U indice 1 et 2.
51  1      et      51,96    1
J'arrive a démontrer l'initialisation et l'hérédité (qui pour moi ne nécessite pas de remplacer M par la matrice qu'on a choisis avant).

Arrivé ici, quand la matrice M aura une puissance je pense qu'il faut privilégier la Matrice diagonale déterminée avant mais je ne suis pas convaincu du tout d'être dans la bonne direction.

Je ne peux pas trouver u indice n, avec la matrice utilisée pour U indice n+1, élevé à la puissance n

Donc je pense vraiment avoir mal déterminé M.

Merci par avance de vos réponses.

Melano

Invité

Re : Suite et Matrice

M3 http://hpics.li/ddb331f

Melano

Invité

Re : Suite et Matrice

dans ma troisième version de M le coeff en 1;1 doit être divisé par 50

yoshi

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Re : Suite et Matrice

Bonjour,

J'ai tourné en rond aussi, trouvant qu'il y avait quelque chose d'illogique jusqu'à aller voir les questions suivantes et j'ai comparé et mis le doigt sur ce qui me chiffonnait :
[tex]U_n=U_0\times M[/tex] (1)  à la question a)
et
[tex]U_p=U_0\times M^p[/tex]  ou [tex]U_{p+1}=U_0\times M^{p+1}[/tex] à la question c).
Ça ne collait pas, s'il s'agissait de la même matrice M...

Alors j'ai modifié (1) en
[tex]U_{n+1}=U_n\times M[/tex]
Et j'ai une matrice M unique, qui ne contient pas [tex]u_n[/tex] (ça aussi c'était illogique de mon point de vue).

@+

[EDIT] Mais d'avoir dû modifier (1) me gène quand même.
Pourtant mon [tex]M =\begin{pmatrix}0.96 & 0\\3 & 1\end{pmatrix}[/tex] était bien pratique...
Après pour jouer avec les puissances, je suis largué : il y a bien trop longtemps que je n'ai pas joué avec ça. Je tente de rafraîchir mes souvenirs, mais cela va prendre plus de temps que prévu.
L'idéal serait qu'un de mes petits camarades passe par là pour me remettre les idées d'aplomb...

Partie 2. Aucun pb

Dernière modification par yoshi (01-11-2016 14:20:51)

Melano

Invité

Re : Suite et Matrice

Merci beaucoup pour l'intérêt porté.
Je ne veux pas remettre en doute le sujet du professeur mais je bloque vraiment sur M' en ayant l'impression de devoir le changer alors qu' il ne le devrait pas.
Merci tout de même .

freddy

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Re : Suite et Matrice

Salut,

il y a tout simplement une erreur sur la rédaction de la première question.
(remarque : la suite $(u_n)$ est une suite arithmético-géométrique).

Il faut lire : trouver la matrice M telle que $U_{n+1}=U_n\times M$.

On a par identification $M=\begin{pmatrix} 0{,}96 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

Et tout le reste s'enchaine.

Par exemple : $U_n = U_{n-1}\times M = \begin{pmatrix}0{,}96u_{n-1}+3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_n & 1 \end{pmatrix}$

et si  $U_p=U_0\times M^p$ alors $U_{p+1}=U_p\times M=U_0\times M^{p+1}$

yoshi

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Re : Suite et Matrice

RE,

il y a tout simplement une erreur sur la rédaction de la première question.

Aaaahhhh !
Merci freddy ! J'avais tout de même pas le cerveau si ramolli que je le craignais : tu confirmes mon diagnostic d'erreur !!!

Donc, il n'y a pas à calculer [tex]M^6[/tex] (Je crois d'ailleurs avoir trouvé comment)...

@+

freddy

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Re : Suite et Matrice

Salut yoshi,

si, je pense que c'est un peu le but de l'exo, surtout si le calcul matriciel est revenu récemment dans le pgm de TS.

Le calcul est assez facile d'ailleurs, grâce au coefficient $m_{12}=0$.

Donc $M^2 = \begin{pmatrix} \alpha^2 & 0 \\ 3\alpha+3 & 1 \end{pmatrix}$ et $M^3 = \begin{pmatrix} \alpha^3 & 0 \\ 3\alpha^2+3\alpha+3 & 1 \end{pmatrix}$ et $M^4 = \begin{pmatrix} \alpha^4 & 0 \\ 3\alpha^3+3\alpha^2+3\alpha+3 & 1 \end{pmatrix}$

NB : $\alpha = 0{,}96 \ne 1$

Tu vois que le coefficient $m_{21}^{(4)}=3\frac{1-\alpha^4}{1-\alpha}$ et donc $M^6 = \begin{pmatrix} \alpha^6 & 0 \\ 3\frac{1-\alpha^6}{1-\alpha}& 1 \end{pmatrix}$

yoshi

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Re : Suite et Matrice

Salut,

Coïncidence ou pas (je n'y ai pas réfléchi), j'avais remarqué que
[tex]\lim_{n\to +\infty} 3\frac{1-0.96^n}{1-0.96} =75[/tex], ce même 75 qui est utilisé pour la suite auxiliaire [tex]v_n=u_n-75[/tex]
D'ailleurs, j'avais traité la partie 2 sans la lire, dans la opartie en trouvant ce 75 encore autrement...
en partie 2
J'avais vu cette méthode avec les coeff du binôme
On pose A telle que [tex]M=I+A[/tex] soit [tex]\begin{pmatrix}0.96 & 0\\ 3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a & 0\\ b & c\end{pmatrix}[/tex]
D'où [tex]A=\begin{pmatrix}-0.04 & 0\\ 3 & 0\end{pmatrix}[/tex]

et [tex]M^6=I^6+6A+15A^2+20A^3+15A^4+6A^5+A^6[/tex]  ;  ([tex]I^6=i^5=I^4=I^3=I^2=I[/tex])
Avec a = -0.04
[tex]A^2=\begin{pmatrix}a^2 & 0\\ 3a & 0\end{pmatrix},\;A^3=\begin{pmatrix}a^3 & 0\\ 3a^2 & 0\end{pmatrix},\;A^4=\begin{pmatrix}a^4 & 0\\ 3a^3 & 0\end{pmatrix}...[/tex]
Et on remarque que
[tex]A^2=a\times A,\;A^3=a^2\times A,\;A^4=a^3\times A....[/tex]

Ça m'a l'air bien plus long...

@+

freddy

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Re : Suite et Matrice

Re,

il faut mettre tout cela en correspondance avec le traitement des suites arithmético-géométriques (qu'on voyait en TC et qu'on doit voir en Sup/ L1) et dont on trouve les éléments essentiels dans la Bibmath.
En tout cas, c'est un joli sujet.

Dernière modification par freddy (02-11-2016 11:27:12)

Melano

Invité

Re : Suite et Matrice

Merci à tous, je précise que je suis en T.ES sp Math.
Encore merci

freddy

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Re : Suite et Matrice

Re,

Sauf si tu arrêtes de faire des maths après le bac, quel que soit ton choix, tu devras connaître les propriétés de cette suite. Autant les découvrir maintenant  :-)