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camilia

Invité

Suite/recurrence

Bonjour,
Dans un des exercices que je dois rendre j'ai comme consigne:
La suite (Un) est definie par Uo=2 et pour tout entier naturel n, Un+1=f(Un) avec f(x)=1/2(x+3/x)

a)Calculer u1 et u2, donner sous forme de fraction puis sous forme decimale 10puissance-5
b) Demontrer par recurrence que pour tout entier n,
√3<Un+1<Un2

c) en deduire que la suite est convergente

a) u1=7/4   u2=97/56
b) C'est a partir de ce moment que je bloque

Fred

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Messages : 7 352

Re : Suite/recurrence

Bonjour,

  Je veux bien t'aider pour la première partie de la question, mais pour la deuxième, ton énoncé n'est pas clair. S'agit-il de $u_{n+1}\leq u_n^2$???

Pour démontrer que, pour tout entier $n\geq 1$, on a $u_n\geq \sqrt 3$, on peut procéder comme suit :

1. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[\sqrt 3,+\infty[$.  Peut-être as-tu étudié les variations de $f$ plus tôt dans l'exercice?

2. Remarquer que $f(\sqrt 3)=\sqrt 3$.

3. Démontrer le résultat par récurrence en suivant la méthode classique :

Initialisation : On a bien $u_1=7/4\geq \sqrt 3$.

Hérédité : Soit $n$ un entier tel que $u_n\geq \sqrt 3$. Puisque la fonction $f$ est croissante sur $[\sqrt 3,+\infty[$, on a
$f(u_n)\geq g(\sqrt 3)$. Je te laisse finir....

F.