Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vador

Invité

Le second degré

Bonjour,
J'ai un exercice de maths que je ne comprends vraiment pas, voici l'énoncer :

n°76 Au Fond d'un canyon

Au fond d'un canyon, coule une rivière. Du bord de surplomb rocheux, on laisse tomber une pierre et on chronomètre le temps écoulé entre le lâché de la pierre et le "plouf" dans la rivière : il s'écoule 4,5 secondes. L'objectif est de déterminer la profondeur p du canyon.

a) La Distance parcourue d (en m) par la pierre en fonction du temps t (s) est :
                                                            d= 0.5gt² ( on prendra g=10 m.s^{-2})
Si t1 désigne le temps de la chute de la pierre, écrire une relation entre p et t1.

b) La distance parcourue par le son en fonction du temps est d=340t. Si on appelle t2 le temps de remontée du son, écrire une relation entre p et t2.

c) Le temps total étant de 4.5 secondes, exprimer t2 en fonction de t1.

d) Déduire de ces relations que t1 est solution de l'équation : t2 + 68t - 306 = 0

e) Résoudre cette équation. En déduire t1 puis la profondeur du canyon. On donnera la valeur de t1 arrondie au dixième de seconde et la profondeur du canyon arrondie au mètre prés.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît, merci d'avance.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Le second degré

Au fond d'un canyon, coule une rivière. Du bord de surplomb rocheux, on laisse tomber une pierre et on chronomètre le temps écoulé entre le lâché de la pierre et le "plouf" dans la rivière : il s'écoule 4,5 secondes. L'objectif est de déterminer la profondeur $p$ du canyon.

a) La Distance parcourue $d$ (en m) par la pierre en fonction du temps $t$ (s) est :

                                                            $d= 0.5gt^2$ ( on prendra $g=10 m.s^{-2})$

Si $t_1$ désigne le temps de la chute de la pierre, écrire une relation entre $p$ et $t_1$.

b) La distance parcourue par le son en fonction du temps est $d=340t$. Si on appelle $t_2$ le temps de remontée du son, écrire une relation entre $p$ et $t_2$.

c) Le temps total étant de 4.5 secondes, exprimer $t_2$ en fonction de $t_1$.

d) Déduire de ces relations que $t_1$ est solution de l'équation : $t^2 + 68t - 306 = 0$ (?)

e) Résoudre cette équation. En déduire $t_1$ puis la profondeur du canyon. On donnera la valeur de $t-1$ arrondie au dixième de seconde et la profondeur du canyon arrondie au mètre prés.

Salut,

j'ai mis un peu au propre.
Bon, alors on commence : qu'as tu fait ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : Le second degré

Bonsoir,

Bon, si on prend ça pas à pas, c'est assez simple...
Je vais te questionner et tu répondras je te dirais oui ou non et pourquoi... oàk ?
Donc, pas d'affolement...
d= 0.5gt² :
c'est l'expression de la distance parcourue en chute libre en fonction de l'accélération de la pesanteur g et du temps de chute t.
C'est clair ?
Dans ton problème p remplace d, : en effet la profondeur du canyon, c'e'st bien la distance parcourue par la pierre pendant sa chute entre l'endroit où on la lâche et la surface de l'eau...
a)
Le temps de la chute est $t_1$, la distance parcourue est p, et on te dit de prendre g =10
Donc p =..... ?  (1)

b)
La distance d parcourue par le son s'écrit d = v * t (formule connue depuis la 4e).
On sait que ce temps est $t_2$, le vitesse v est 340 m/s.
Quelle distance parcourt donc le son  (le "plouf" de la pierre qui percute l'eau)  pour parvenir jusqu'aux oreilles de celui qui lâche la pierre ? Mais la même distance qu'a parcourue la pierre pour toucher l'eau bien sûr : c'est à dire p...
Donc tu vas écrire que la distance p parcourue par le son en un temps $t_2$ s à la vitesse de 340 m/s  est :
p = ....... ?  (2)

c)  Le temps de la chute est $t_1$, le temps mis par le son pour monter jusqu'aux oreilles est $t_2$.n Le tout fait 4,5 s..
Ecris donc une relation (très simple) entre $t_1$, $t_2$ et 4,5
.....   =  ...   ?
Puis à partir de cette relation tu exprimes $t_2$ en fonction de $t_1$ : $t_2\,=\,....$  ?  (3)

d)
Déduire de ces relations dit l'énoncé...
C'est le seul point qui doit t'échapper, et encore !!!
A partir des relations (1) et (2) tu dois trouver une autre relation liant [tex]t_1^2[/tex] et [tex]t_2[/tex] et tu passes tout dans le premier membre :
.... - .... = 0  ???  (4)  Quelle est donc cette relation (4) ?
Tu procèdes alors par substitution tu y remplaces t2 par son exopression obtenue en (3)

La suite doit couler de source (au fond du canyon).

Reviens avec les réponses aux questions.

@+

[EDIT] Grillé par freddy...
Salut compadre !

Dernière modification par yoshi (31-10-2016 19:49:43)

Vador

Invité

Re : Le second degré

Merci beaucoup de votre aide !

a)
p=0.5*10t₂ ?

b)
p= v*t₂ donc si la vitesse est de 340m/s on peut écrire : p=340*t₂ ?

c)
t₁+t₂=4.5s ?
t₂=4.5-t₁ ?

d)
340*t₂-0.5*10t₂=0 ?
C'est donc une équation de degré 2 ?
340*(4.5-t₁)-0.5*10(4.5-t₁=0 ?

Merci et bonne soirée.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : Le second degré

Salut,

Alors :
a)

p=0.5*10t2 ?

oui, t'as le droit de faire la multiplication, hein... Donc [tex]p=5t_1^2[/tex]  (1)
Si tu ne laisses pas les indices, yu vas te paumer.

b)

p= v*t2 donc si la vitesse est de 340m/s on peut écrire : p=340*t2 ?

Oui, [tex]p =340t_2[/tex]

c)

t1+t2=4.5s ?  t2=4.5-t1 ?

Oui ,[tex] t_2=4,5-t_1[/tex] (3)
Pour le moment, c'était vraiment un problème d'une difficulté folle, s'pas ?

d)

340*t2-0.5*10t2=0 ?

Je t'avais dit plus haut que si tu ne regardes pas les indices, tu allais faire des cagades...
Je résume, tu as :
[tex]\begin{cases}p&=5t_1^2  \quad \,\;\;\;(1)\\p&=340t_2\quad(2)\end{cases}[/tex]
D'où :
[tex]5t_1^2-340t_2=0[/tex]  <---- Je pense que tu as compris pourquoi .
Et maintenant tu remplaces $t2$ grâce à l'égalité (3)...
Lorsque c'est fait, là où il est écrit [tex]t_1[/tex], tu écris tout simplement t pour que ce ne soit plus une valeur particulière...
Tu développes, tu réduis et tu simplifies et tu tombes sur l'équation donnée.
Tu la résous et tu trouves deux valeurs de t, l'une positive, l'autre négative... Choisis la bonne ! ^_^

Réponds à la question e)...

@+

Vador

Invité

Re : Le second degré

Bonjour,

Merci pour les réponses.

Donc pour la question d)

5t₁−340t₂=0
5(4.5-t₁)-340(4.5-t1)=0
22.5-5t₁-1530-340t₁=0
22.5-1530=340t₁+5t₁
-1507.5=345t₁
-1507.5/345=t₁
t₁=-4.37

Donc si je remplace t dans l'équation donné dans l'énoncé, j'obtiens :

t₂ + 68t -306 = 0
-t₂ = 68 * (-4.37)-306
     =-2.97.16 - 306
     = -603.16
Donc t₂ = 603.16

Mais je ne comprends pas pourquoi de tel résultats...
Et comment répondre à la question e) ...

Merci beaucoup de votre aide.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : Le second degré

Bonjour,

5t1²−340t2=0
5(4.5-t1)-340(4.5-t1)=0
---------------------------------
22.5-5t1-1530-340t1=0
22.5-1530=340t1+5t1
-1507.5=345t1
-1507.5/345=t1
t1=-4.37

Ca, c'est de la bouillie pour les chats (et encore tu risques des plaintes de la SPA ^_^
Alors
1. D'abord l'égalité (1) c'est [tex]p=5t_1^2[/tex], donc quant tu écris $5t_1$, tu n'as aucune chance d'arriver au bout
2. L'égalité à utiliser est[tex]5t_1^2-340t_2=0 [/tex] c'est là qu'il faut remplacer $t_2$ par son expression en fonction de $t_1$ à savoir $t2=4,5-t_1$... Et toi tu remplaces (en bleu) $t_1$ par $4,5-t_1$ ( °_° non !) et  après,  $t_2$, par $4,5-t_1$... Tu appelles ça être concentré et rigoureux ?
3. En faisant strictement ce que l'énoncé te dit de faire (et rien d'autre), tu obtiens :
[tex]5t_1^2-340(4,5-t_1)=0[/tex]
Et maintenant à la place de $t_1$ tu écris $t$ puisque le temps t est générique, $t_1$ un temps donné solution de ce qui suit :
[tex]5t^2-340(4,5-t)=0[/tex]

Là je t'ai dit : tu développes :
[tex]5t^2-2880+340t)=0[/tex]
Je t'ai dit : tu réduis et tu simplifies...
Bon, pas besoin de réduction, :
[tex]5t^2+340t-1530 =0[/tex]
Oui, mais ce n'est pas l'équation de l'énoncé, ! Oui, mais j'ai aussi de simplifier...
Et on divise par 5 :
[tex]t^2+68t-306=0[/tex]

Er maintenant tu dois savoir résoudre ça, non ?
[tex]\Delta=(-68)^2-4\times 1\times(-306)=4624+1224 = 5876[/tex]
Solutions :
[tex]t_1,t_1'=\frac{-68\pm\sqrt{5676}}{2}[/tex]
La solution positive est :
[tex]t_1=\frac{-68+76,472}{2}= \frac{8,472}{2} = 4, 236\; s[/tex]
Soit au 1/10e s : [tex]t_1=4,2\;s[/tex]

Maintenant pour la hauteur du canyon, ne réutilise pas 4,2 s mais 4,236...
Pourquoi ?
Parce que le temps est arrondit au 1/10e s près et à raison de 340 m/s, 1/10e s en plus ou moins donne une variation 340/10 = 34 m !!!! (et l'énoncé dit : à 1 m près...Tu serais loin du compte)
Donc tu calcules t2 à partir de 4,5 et 4,236.
Tu obtiendras une précision au cm près ce qui te permettra d'arrondir la réponse au m près...

Bon, sérieusement, où étaient les difficultés ? Pour moi, dans la capacité d'attention etv de rigueur de la personne placée entre l'écran et le dossier de la chaise... ^_^

Sais-tu calculer les racines d'une équation du 2nd degré via celui du discriminant ? J'espère, parce que sinon, on fera autrement, et tu risques de ne pas tellement apprécier...

@+

Vador

Invité

Re : Le second degré

D'accord, donc la on a calculer le temps de la chute de la pierre : 4.236 s.

Pour calculer la profondeur du canyon donc t₂, il faut donc juste le remplacer dans l'expression (3) :
t₂ = 4.5 - t₁ ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : Le second degré

Re,

Pour calculer la profondeur du canyon donc t2

Pfff...
Je t'invite à aller relire ton énoncé : t2 n'est pas la profondeur du canyon...
On peut même calculer directement la profondeur du canyon sans utiliser t2...
On a t1 ça suffit.
Retourne lire quand même l'énoncé et mon post #5 et l'égalité (1) en particulier...

@+

Vador

Invité

Re : Le second degré

Oui, d'accord.

Mais je ne comprends quand même pas comment le calculer ...

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : Le second degré

Re,

Ce n'est pas possible, tu n'as pas lu...
Voilà ce que dit l'énoncé.
* A propos de $t_2$ :
   Si on appelle t2 le temps de remontée du son, écrire une relation entre p et t2.
   Cette relation que j'avais étiquetée (2)  est [tex]p = 340t_2[/tex]
   La relation (3)  était [tex]t_2=4,5-t_1[/tex] t_1, tu l'as.
   Peux-tu me redire sans rougir :
   - Je ne sais pas calculer [tex]t_2[/tex]
   - Je ne sais pas calculer [tex]340t_2[/tex]

* A propos de [tex]t_1[/tex] :
  Si t1 désigne le temps de la chute de la pierre, écrire une relation entre p et t1
   Cette relation étiquetée (1) est [tex]p=5t_1^2[/tex]. Relis...
   Tu connais [tex]t_1[/tex].
   Alors redis-moi sans  rougir : je ne sais pas calculer [tex]5t_1^2[/tex].

Que tu utilises $t_1$ ou $t_2$ tu arriveras au même résultat...

@+

Vador

Invité

Re : Le second degré

D'accooooooord, donc si j'utilise t₁ :

p = 5₁
p = 5 * 4.236
p = 21.18 m ?

Donc le canyon a une profondeur de 21m ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : Le second degré

Re,

Je vais halluciner !!!
[tex]p=5t_1^2[/tex] Puissance 2 nom d'une pipe...
Tiens si t'avais contrôlé avec t₂ :
t₂ =4,5-4,236 = 0,264 s
p=340t₂ = 340 *  0,264 = 89,76 m
Tu n'aurais pas posé la question..
(Contrôle donc les 89,76 avec [tex]p = 5t_1^2[/tex] sans oublier le carré cette fois....)

Maintenant l'arrondi au m est ?

@+

Vador

Invité

Re : Le second degré

bonjour,

90m ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : Le second degré

Salut,

Oui.
La règle de l'arrondi dit qu'il faut regarder la valeur du chiffre suivant (ici celui représentant les dm)
S'il est > 5 on arrondit au-dessus
S'il est compris ente 0 et 5, on procède par troncature.
Ici : 89,7 et  7>5 donc on prend 89+1 = 90.
(89,4 aurait donné 89)

@+

Vador

Invité

Re : Le second degré

Merci beaucoup de votre aide, je vous remercie encore.