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Nino89

Invité

Rationnels et irrationnels

Bonjour à tous,

Soit [tex]\mathrm{Irr} ( \mathbb{R} )[/tex] le sous ensemble des nombres irrationnels du corps [tex]\mathbb{R}[/tex].
J'aimerais savoir si est possible de définir une structure sur [tex]\mathrm{Irr} ( \mathbb{R} )[/tex] et un morphisme : [tex]\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{Q}[/tex] de deux structures à définir aussi qui, par le théorème de factorisation, on obtient : [tex]\mathbb{R} / \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} ) \ \simeq \mathbb{Q}[/tex] ?

Merci d'avance pour votre aide.

Nino89

Invité

Re : Rationnels et irrationnels

J'ai réfléchi un tout petit peu, et je me suis dit que [tex]\varphi[/tex] est peut etre définie par : [tex]\varphi (x) = \begin{cases} \mathrm{id}_{ \mathbb{Q} } \ \ \mathrm{si} \ \ \ x \in \mathbb{Q} \\ 0 \ \ \ \mathrm{si} \ \ \ x \not \in \mathbb{Q} \end{cases}[/tex].
Mais, si c'est le cas, [tex]\varphi[/tex] est un morphisme de quelle structure ?
Merci d'avance.  :)

Yassine

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Re : Rationnels et irrationnels

Bonjour,
Le quotient $\displaystyle \mathbb{R} / \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} )$ nécessite une relation d'équivalence que tu définirais par $x \equiv y \Leftrightarrow x-y \in \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} )$. Cette relation ne serait ni réflexive ni transitive.

La construction de $\mathbb{R}$ à partir de $\mathbb{Q}$ n'est pas algébrique mais est basée sur une motivation topologique (on cherche un espace topologique complet). A noter que la construction de $\mathbb{C}$ depuis $\mathbb{R}$ a quant à elle une motivation algébrique (clôture algébrique. On souhaite un corps où un polynôme de degré $n$ a $n$ racines).

De plus, je ne suis pas sûr de la structure que tu voudrais conserver (algébrique ou topologique) ?

Nino89

Invité

Re : Rationnels et irrationnels

Bonjour Yassine :

Je voudrais si possible conserver les deux structures, algébrique et topologique. Comment réconcilier tout ça ? Je suis persuadé qu'on peut aboutir à l'identification : [tex]\mathbb{R} / \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} ) \simeq \mathbb{Q}[/tex], il reste à identifier les structures sous jacentes.

Yassine

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Re : Rationnels et irrationnels

Bonsoir Nino,
Comme je l'ai indiqué, je ne vois pas trop comment tu définis $\displaystyle \mathbb{R} / \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} )$ ?
D'autre part, je ne suis pas un expert des "topologies exotiques", je ne connais donc personnellement pas de topologie "intéressante" sur $\mathbb{Q}$ (je ne dis pas qu'il n'en existe pas, mais que je n'en connais pas).

freddy

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Re : Rationnels et irrationnels

@Yassine,

une phrase résume toute la demande :" Je suis persuadé qu'on peut aboutir à l'identification : [tex]R/Irr(R)≃Q
[/tex], il reste à identifier les structures sous jacentes."
En clair, j'ai l'intuition de quelque chose, mais si quelqu'un pouvait faire le travail de démonstration à ma place, merci d'avance.

Nino89 semble ignorer que tout le travail du mathématicien est précisément de prouver par lui-même que son intuition est bonne, et pas de la soumettre à d'autres, au risque de passer pour un doux rêveur.

Donc, cher ami, reviens nous voir quand tu auras une démonstration solide et rigoureuse à nous soumettre, on te dira ce qu'on en pense.

Bon courage !

Yassine

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Re : Rationnels et irrationnels

Bonjour Freddy,
Je mets ça sur le compte de la fougue de la jeunesse.

Nino89

Invité

Re : Rationnels et irrationnels

Bonjour à vous deux Yassine et Freddy :

Non, je ne compte pas que les autres font le travail à ma place. Je vous ai montré où j'en suis :
J'ai défini [tex]\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{Q}[/tex] de sorte que : [tex]\varphi (x) = x. \mathrm{1}_{ \mathbb{Q}} = \mathrm{id}_{ \mathbb{R} } (x). \mathrm{1}_{ \mathbb{Q} } [/tex]. C'est un morphisme d'anneaux :
en effet : [tex]\forall x,y \in \mathbb{R}[/tex] :
Si [tex]x,y \in \mathbb{Q}[/tex], alors : [tex]\varphi (x+y) = x+y = \varphi (x) + \varphi (y)[/tex] et [tex]\varphi (xy) = xy = \varphi(x). \varphi(y)[/tex].
Si [tex]x,y \not \in \mathbb{Q}[/tex], alors : [tex]\varphi (x+y) = 0 = 0 + 0 = \varphi(x) + \varphi(y)[/tex] et [tex]\varphi (xy) = 0 = 0.0 = \varphi(x) . \varphi(y)[/tex].
Si [tex]x \in \mathbb{Q}[/tex] et [tex]y \not \in \mathbb{Q}[/tex], alors, c'est là que ça pose problème :
Comment est définie : [tex]\varphi (x+y)[/tex] ?
Si [tex]x \in \mathbb{Q}[/tex] et [tex]y \not \in \mathbb{Q}[/tex], alors : [tex]x+y \in \mathbb{Q}[/tex] ou bien [tex]x + y \not \in \mathbb{Q}[/tex] ?
Merci d'avance.

Ostap Bender

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Re : Rationnels et irrationnels

Si [tex]x,y \not \in \mathbb{Q}[/tex], alors : [tex]\varphi (x+y) = 0 = 0 + 0 = \varphi(x) + \varphi(y)[/tex] et [tex]\varphi (xy) = 0 = 0.0 = \varphi(x) . \varphi(y)[/tex].

Tu peux détailler dans le cas où [tex]x=\sqrt2[/tex] et  [tex]y=-\sqrt2[/tex] ?

Ostap Bender

Yassine

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Re : Rationnels et irrationnels

Je repond de mon téléphone
Si phi était un morphisme, son noyau serait un sous groupe, ce qui n'est clairement pas le cas des irrationnel

Edit
Ostap : je n'avais pas vu que tu avais répondu !
C'est aussi un angle d'attaque pour montrer une contradiction

Dernière modification par Yassine (24-08-2016 15:06:46)

Nino89

Invité

Re : Rationnels et irrationnels

Bonjour Ostap Bender :
On a :
[tex]\varphi ( \sqrt{2} + ( - \sqrt{2} ) ) = \varphi ( 0 ) = 0[/tex]
[tex]\varphi ( \sqrt{2} ) + \varphi ( - \sqrt{2} ) = 0 + 0 = 0[/tex]
Par conséquent :
[tex]\varphi ( \sqrt{2} + ( - \sqrt{2} ) ) = \varphi ( \sqrt{2} ) + \varphi ( - \sqrt{2} )[/tex]
D'autre part,
[tex]\varphi ( \sqrt{2} \times ( - \sqrt{2} ) ) = \varphi ( -2) = -2[/tex]
[tex]\varphi ( \sqrt{2} ) \times \varphi ( - \sqrt{2} ) = 0 \times 0 = 0[/tex]
Par conséquent :
[tex]\varphi ( \sqrt{2} \times ( - \sqrt{2} ) ) \neq \varphi ( \sqrt{2} ) \times \varphi ( - \sqrt{2} ) )[/tex]
Donc, il y'a un problème pour la multiplication que je n'arrive pas à accommoder pour que ça marche.  :-)

Nino89

Invité

Re : Rationnels et irrationnels

Yassine :
Comment alors faire pour corriger ce qui ne marche pas.  :-)

Yassine

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Re : Rationnels et irrationnels

Je ne vois pas.
Il faut revenir à l'origine du problème : ton intuition !

Nino89

Invité

Re : Rationnels et irrationnels

Mais, au moins, [tex]\varphi[/tex] est un morphisme de groupes additifs, non ? Donc, l'identification est valable, non ?

Nino89

Invité

Re : Rationnels et irrationnels

Ah ouais, [tex]\mathrm{Irr} ( \mathbb{R} )[/tex] n'est pas un sous groupe de [tex]\mathbb{R}[/tex], j'ai oublié ...
et si on prend : [tex]\langle \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} ) \rangle[/tex] comme étant le plus petit sous groupe normal contenant [tex]\mathrm{Irr} ( \mathbb{R} )[/tex], est ce que : [tex]\mathbb{R} / \langle \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} ) \rangle \ \simeq \mathbb{Q}[/tex] ?
Merci d'avance.  :-)

Yassine

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Re : Rationnels et irrationnels

Bonjour,
Petits exercices qui peuvent t'aider à affiner ton intuition :
- Montrer que tout morphisme de corps est injectif
- Montrer que tout corps infini de caractéristique nulle contient $\mathbb{Q}$ (à isomorphisme près).
- Montrer que $\langle Irr(\mathbb{R})\rangle = \mathbb{R}$

Dernière modification par Yassine (25-08-2016 09:37:28)

Nino89

Invité

Re : Rationnels et irrationnels

Bonjour Yassine :

Tes deux premiers exercices sont facile à faire, puisque on les trouve dans tous les cours de théorie des corps.
Par contre, le troisième, je vois mal comment m'y prendre. As tu un petit indice à me proposer.

Yassine

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Re : Rationnels et irrationnels

Le premier te montre que ta tentative de trouver un morphisme de corps de $\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$ est vouée à l'échec (tu aurais alors construit une injection de $\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$ !)

Pour le dernier, dans le cas du groupe additif, tu considères pour $q \in \mathbb{Q}$ et $\varepsilon$ irrationnel, $\frac{q}{2} + \varepsilon$ et $\frac{q}{2} - \varepsilon$.

Nino89

Invité

Re : Rationnels et irrationnels

Pour montrer que [tex]\mathbb{R} \subseteq \langle \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} ) \rangle[/tex], on choisit un réel [tex]x[/tex], et on établit que [tex]x = \displaystyle \sum_k q_k m_k[/tex] avec : [tex]k[/tex] fini, c'est ça ?
Alors :
Si [tex]x \in \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} )[/tex], alors, c'est trivial.
Si [tex]x \in \mathbb{Q}[/tex], alors, je n'ai pas bien saisi l'indication que tu m'as fourni.
Any help ?

Yassine

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Re : Rationnels et irrationnels

Tu as déjà l'inclusion $\langle Irr(\mathbb{R}) \rangle\subset \mathbb{R}$. Tu sais aussi que $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup Irr(\mathbb{R})$.
Il faut donc juste établir que $\mathbb{Q} \subset \langle Irr(\mathbb{R}) \rangle$. C'est le sens de l'indication que je t'ai donnée : tu sais que  $\langle Irr(\mathbb{R}) \rangle$ est stable par addition, que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationelle ...

Nino89

Invité

Re : Rationnels et irrationnels

Ah d'accord, donc, [tex]\forall x \in \mathbb{Q}[/tex] : [tex]x = \dfrac{1}{2} ( x + \epsilon ) + \dfrac{1}{2} ( x - \epsilon ) \in \langle \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} ) \rangle[/tex] car, [tex]\dfrac{1}{2} ( x + \epsilon ) , \dfrac{1}{2} ( x - \epsilon ) \in \langle \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} ) \rangle[/tex].  :-)
Merci.