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Macorps

Invité

Dénombrement (combinatoire)

Bonjour,

J'ai des difficultés à résoudre le problème suivant :

Un panier gourmand est constitué de 8 produits choisi parmi 15. Les produits peuvent être identiques (par exemple : 3 confitures de fraise, 3 de cassis et un pot de miel, 8 produits mais 3 références).
Combien peut-on constituer de paniers gourmands différents ?

J'ai fait des essais avec des données plus faibles :
3 produits à choisir parmi 3 : 10 combinaisons
3 produits à choisir parmi 4 : 20 combinaisons
4 produits à choisir parmi 6 : 56 combinaisons

En oubliant le cas particulier d'un panier constitué de 2 produits, il semble que l'on tombe sur le résultats suivant (en appelant n le nombre de produits), indépendant du nombre de produits constituant le panier :

(1 * n) + 2 *(n-1) + 3 * (n-2) + 4 * (n-3) + 5 * (n-4) + 6 * (n-5) + etc.

Soit si n = 3 : 1*3 + 2*2 + 3 *1 = 10
si n = 6 : 1 *6 + 2 * 5 + 3 * 4 + 4 * 3 + 5 * 2 + 6 *1 = 56

Mais je n'arrive pas à le démontrer et je ne suis pas sûr du tout de ce résultat (je l'ai obtenu en bâtissant des arbres de choix où la solution semble se dessiner).

Merci pour votre aide.

Macorps

Invité

Re : Dénombrement (combinatoire)

Bonjour,

J'ai commis une erreur.
Avec 6 produits (n en général) et 4 choix (p en général), cela fait 126 combinaisons.

En cherchant avec Excel, j'ai trouvé une fonction qui donne la solution : Combina(n,p) = nombre de combinaison de p parmi (n+p-1).
Sur un site j'ai trouvé un problème analogue développé et confirmant la solution.

J'ai toutefois trouvé un résultat accessoire, sans doute déjà connu (non utile dans mon problème) :

1 + 3 + 6 + 10 + 15 + etc  = (1*n) + 2 * (n-1) + 3 * (n-2) + 4 * (n-3) + etc.

Avec n le nombre de termes de la suite. (les nombres 1, 3, 6, 10, 15, etc. étant la somme de termes en progression arithmétique de raison 1 : 3 = 1+2 ; 6 = 1 + 2 + 3 ; etc.). Notion de série en math.

Merci

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : Dénombrement (combinatoire)

Bonjour,
Pourrais-tu préciser un peu plus la question.

8 produits choisi parmi 15

La réponse à ça est exactement $\binom{15}{8}$.
L'exemple que tu donnes ne correspond pas à la question puisque tu parles de référence.

Est-ce que la question est : comment constituer un panier de 8 produits, choisis parmi 15 références (ou classes) différentes ?

MACORPS

Invité

Re : Dénombrement (combinatoire)

Bonjour,

Merci pour la réponse.
Ma demande n'est effectivement pas précise.
La réponse que tu donnes concerne un cas sans répétition, c'est-à-dire que tous les produits choisis pour le panier sont tous différents.
Mon problème porte sur le cas ou des produits choisis peuvent être identiques (comme un tirage de boules avec remise et sans ordre).
J'ai continué mes recherche et trouver un site qui donne comme résultat le nombre de combinaison de p éléments (8 dans mon cas) à choisir par n+p-1 (15+8-1 = 22 dans mon cas). http://www.probas.fr/Combinatoire.html donne l'explication de ce résultat.
Merci encore pour l'aide.