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Nino89

Invité

Idéal premier d'un anneau

Bonjour,

Soit [tex]A[/tex] un anneau commutatif unitaire, et [tex]\mathfrak{p}[/tex] un idéal premier de [tex]A[/tex].
On considère l'ensemble des pairs [tex](f,g)[/tex] avec : [tex]f,g \in A[/tex] et [tex]g \not \in \mathfrak{p}[/tex].
On identifie les pairs conformément à la loi suivante :
[tex](f,g) = ( f' , g' ) \ \ \Longleftrightarrow \ \ \exists h \in A \backslash \mathfrak{p} \ \mathrm{t.q.} \ h(fg' - f'g) = 0[/tex]
Les opérations algébriques définies sur cet ensemble sont :
[tex](f,g) + (f' , g' ) = (fg' + f'g , gg' )[/tex]
[tex](f,g)(f',g') = (ff' , gg' )[/tex]
On peut vérifier facilement que c'est un anneau.
On l'appelle anneau local de [tex]A[/tex] en [tex]\mathfrak{p}[/tex]. On le note : [tex]A_{ \mathfrak{p} }[/tex].
On définit la flèche : [tex]\varphi : A \to A_{ \mathfrak{p} }[/tex] donnée par : [tex]\varphi (h) = (h,1)[/tex] qui est un homomorphisme.
J'aimerai savoir pourquoi les [tex]\varphi (g)[/tex]  avec : [tex]g \not \in \mathfrak{p}[/tex] sont inversibles dans [tex]A_{ \mathcal{p} }[/tex].
Pourquoi aussi : [tex]\forall u \in A_{ \mathfrak{p}} \ : \ u = \dfrac{ \varphi (f) }{ \varphi (g) }[/tex] avec : [tex]g \not \in \mathfrak{p}[/tex] ?

Merci d'avance.

Yassine

Membre

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Messages : 1 090

Re : Idéal premier d'un anneau

Bonjour,
L'intuition, c'est que l'anneau $A_{\mathfrak{p}}$ "ressemble" au corps des fractions de $A$. Il faut donc voir une paire $(f,g)$ comme une "fraction" $\frac{f}{g}$.
ci-après quelques pistes :
- Tu peux montrer que $\forall h \in A\setminus \mathfrak{p} $, $(h,h) \equiv (1,1)$
- Tu peux ensuite montrer que l'inverse de $(h,1)$ est $(1,h)$ (fraction inverse), par utilisation directe de la définition et du résultat ci-dessus.
- Pour la dernière question, tu peux d'abord constater que comme $u \in  A_{\mathfrak{p}}$, alors tu peux trouver $h$ et $g$ tels que $g \notin \mathfrak{p}$ et que $u \equiv (h,g)$. Il faut ensuite, en s'inspirant des fractions, écrire $(h,g) = (h,1)(1,g)$ et conclure à l'aide de la question précédente.

Nino89

Invité

Re : Idéal premier d'un anneau

Bonjour,

Je vous remercie pour votre réponse.

Alors, pour ce qui est de la première question :
[tex]\forall h \not \in \mathfrak{p} \ : \ h.( h.1 - 1.h ) = h.0 = 0[/tex]
Par conséquent : [tex]\forall h \not \in \mathfrak{p} \ : \ (h,h) = (1,1)[/tex]
Maintenant :
[tex]\forall h \not \in \mathfrak{p} \ : \ (h,1)(1,h) = (h.1 , 1.h) = (h,h) = (1,1).[/tex]
Par conséquent : [tex](h,1)^{-1} = (1,h)[/tex].

Pour ce qui est de la dernière question, c'est évident, tu as tout fait. Merci.

Cordialement.