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Antoine12

Invité

Matrice non injective

Bonjour à tous,

Pourriez vous m'aider à trouver une matrice [tex] A \in \mathcal{M}_{3} ( \mathbb{R} ) [/tex] vérifiant : [tex] A \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/tex] ?

Merci d'avance.  :-)

Antoine12

Invité

Re : Matrice non injective

... Je cherche bien sûr une matrice non nulle qui vérifient ces conditions que j'ai cités dans le message précédent ...

Yassine

Membre

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Re : Matrice non injective

Bonjour,
Un truc pour commencer le problème et qui a des chances de te mener jusqu'au bout.
Je note $v_i$ tes cinq vecteurs et $v$ la valeur commune $Av_i = v$.
Comme tu as cinq vecteurs et que tu es en dimension 3, il y a deux vecteurs que tu peux exprimer comme une combinaison linéaire des autres. En faisant ça, tu arriveras à avoir une deux équations sur les composantes de $v$ (qui en a 3). Tu a donc réduit de deux les degré de liberté pour choisir $v$. Il suffit alors de remarque que si $A$ est solution, il en est de même de $\lambda A$ pour tout $\lambda$ réel. Tu peux donc imposer à $v$ une contrainte supplémentaire type $||v||=1$ ou toute autre valeur qui peut simplifier les équations.

Antoine12

Invité

Re : Matrice non injective

Merci encore une fois Yassine.  :-)
Et si on a [tex] 7 [/tex] vecteurs [tex] v_i \in \mathcal{M}_{3,1} ( \mathbb{R} ) [/tex] au lieu de [tex] 5 [/tex], peut -t-on trouver [tex] A \in \mathcal{M}_3 ( \mathbb{R} ) [/tex] non nulle avec : [tex] Av_1 = \dots = Av_7 [/tex] ?
Merci d'avance.

Ostap Bender

Membre

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Re : Matrice non injective

Bonjour Antoine.

Je prends tes trois derniers vecteurs [tex]v_i[/tex] avec les notations de Yassine. Bonjour Yassine.
Je considère [tex]w_i=v_i-v_1[/tex]. Ces trois vecteurs appartiennent au noyau de [tex]A[/tex].
Or ces trois vecteurs forment une famille libre/base de [tex]\mathbf R^3[/tex]. Donc [tex]A[/tex] qui s'annule sur une base est la matrice nulle.

Ostap Bender.

Antoine12

Invité

Re : Matrice non injective

Ah oui, merci beaucoup Ostap Bender.

Yassine

Membre

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Messages : 1 090

Re : Matrice non injective

Bonjour Ostap,
Bien vu !