Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Yassine

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Re : La loi des grands nombres

Oui, je suis d'accord. Mon point est que j'ai pris l'habitude de taper le dollar et du coup je vais très vite comme ça.
Il y avait aussi mon autre argument pour le copier/coller depuis un texte LateX. Par exemple, le pb que Freddy a posé, je travaille dessus dans www.writelatex.com. Si jamais je trouve un truc (ce qui n'est pas garanti à ce stade, mais ça, c'est une autre histoire !), je pourrais rapidement le poster sur le forum, sans avoir à faire des transformations.

Dlzlogic

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Re : La loi des grands nombres

Un premier exemple naïf, c'est celui du défi de lancer consécutivement 100 fois une pièce sur sa face (probabilité  1/2^100)
et de gagner 2^101 euros. Si on paie 1 euro le droit de jouer, alors l'espérance est de 2101×12100−1=1>0. Bien que l'espérance soit positive, je ne me lancerai pas dans ce jeu car il est fort probable (de probabilité 1−12100) que je perde simplement 1 euro. Mais la probabilité 1−12100 n'est pas exactement 1, donc il existe toujours une chance de gagner le gros lot.

En comptant 1 jet toutes les 4 secondes, 35 heures par semaine, et 48 semaines dans l'année, je trouve, sauf erreur, qu'on arrivera à ce résultat au bout d'environ 85.10^22 siècles. Il faudra beaucoup de persévérance.

leon1789

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Re : La loi des grands nombres

Un premier exemple naïf, c'est celui du défi de lancer consécutivement 100 fois une pièce sur sa face (probabilité  1/2^100)
et de gagner 2^101 euros. Si on paie 1 euro le droit de jouer, alors l'espérance est de 2^101×1/2^100−1=1>0. Bien que l'espérance soit positive, je ne me lancerai pas dans ce jeu car il est fort probable (de probabilité 1−1/2^100) que je perde simplement 1 euro. Mais la probabilité 1−1/2^100 n'est pas exactement 1, donc il existe toujours une chance de gagner le gros lot.

En comptant 1 jet toutes les 4 secondes, 35 heures par semaine, et 48 semaines dans l'année, je trouve, sauf erreur, qu'on arrivera à ce résultat au bout d'environ 85.10^22 siècles. Il faudra beaucoup de persévérance.

oui, je suis d'accord, c'est physiquement pas réaliste de croire que l'on peut gagner le gros lot.

Mais initialement je voulais un exemple ultime avec une proba de 0 exactement, et non 1/2^100.

Il est vrai que mes connaissances des probabilités à la Kolmogorov sont proches de celles du débutant.

ok.
Avec Kolmogorov, le calcul des probabilités qui était jusqu'alors basé seulement sur des concepts intuitifs (avec tous les soucis que cela peut entraîner), devient une branche rigoureuse des mathématiques.

J'ai lu énormément de cours, et à part une liste répétitive du type "Proposition ... Preuve ...", je n'ai vu aucune logique et aucun aboutissement constructif. Par contre, ces cours sont une source inépuisable d'exercices aussi tarabiscotés les uns que les autres. Donc, toutes les recettes de cuisine, utilisation de dés à jouer où on confond (ou assimile) repérage d'une face et nombre entier pouvant être ajouté. Parfois on trouve des arguments complètement faux comme, pour le dernier que j'ai lu, le paradoxe de Bertrand. Ou le jeu de MH, présenté comme un problème de probabilité difficile, bref des tas de raison d'arrêter de lire. Enfin, chose bizarre, les notions et lois fondamentales, comme le hasard, la loi normale, la loi des grands nombres, le TCL, sont traités en annexe, lorsqu'ils sont traités.

Tu n'as vraiment pas de chance d'être tombé sur de tels cours, répétant propositions et preuves, sans logique, avec des arguments faux, sans aboutissement, tarabiscotés, où on ne sait pas ce qu'est un dé à jouer, où les notions fondamentales sont à peine évoquées...

De tels cours sont vraiment scandaleux ! On peut en voir un ou deux sur le web ?

Dlzlogic

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Re : La loi des grands nombres

Salut Léon,
Su sais, on a déjà tellement échangé que tu sais exactement de quoi je parle et réciproquement.
J'aime bien ton expression "devient une branche rigoureuse des mathématiques."
Par exemple, irais-tu jusqu'à dire que la démonstration de Jacques Harthong, professeur de mathématiques à l'université de Strasbourg, sur le "paradoxe" de Bertrand (lien cité dans le présent sujet) n'est pas mathématiquement rigoureuse ?
Avant K., cette branche n'était pas mathématiquement rigoureuse ?

Tu sais, le simple fait de lire la question "quelle loi de probabilité" posée par quelqu'un montre sa méconnaissance ou son ignorance des probabilités. Rappelle-toi le cas des ampoules : le constructeur avait oublié de marquer sur le culot la loi de probabilité de sa durée de vie.

leon1789

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Re : La loi des grands nombres

Par exemple, irais-tu jusqu'à dire que la démonstration de Jacques Harthong, professeur de mathématiques à l'université de Strasbourg, sur le "paradoxe" de Bertrand (lien cité dans le présent sujet) n'est pas mathématiquement rigoureuse ?

Pourquoi je dirais une chose pareille ?! Je t'ai déjà dit plusieurs fois ce que je pensais du texte de J.H.

Tu donnes l'impression de vouloir opposer J. H. et K.  Je ne comprends pas.

Avant K., cette branche n'était pas mathématiquement rigoureuse ?

Avant K, il n'y avait pas d'axiomatique des proba type théorie des ensembles. Cela ne signifie pas que rien avant K n'avait de valeur. Cela signifie qu'il y avait parfois des situations d'apparence paradoxale, et qu'on a pu élucider à partir d'une axiomatique rigoureuse.

Tu sais, le simple fait de lire la question "quelle loi de probabilité" posée par quelqu'un montre sa méconnaissance ou son ignorance des probabilités.

C'est justement le contraire... mais je doute que tu comprennes un jour pourquoi les matheux parlent de toutes ces lois de probabilités, qui ont plein de propriétés particulières, etc. Tu imagines bien qu'ils ne le font pas pour le plaisir d'emmerder les gens, hein ? si ? Non, tu nous expliques tout bonnement que les matheux méconnaissent et sont ignorants des probabilités. Autant sire qu' Usain Bolt ne sait pas courir, c'est du même acabit !

Dlzlogic

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Re : La loi des grands nombres

bonsoir,
Cela me rappelle le sujet suivant : dans un contexte de casino, il y a des boules rouges et des boules noires.
Supposons que le Rouge soit sorti N fois en suivant, est-il intéressant de parier sur Noir, ou pas ?
Pour simuler cela, j'ai réalisé un tirage de 250 000 coups.
Ci joint le résultat. Pardon pour l'ancienneté du document, mais je suis prêt à le refaire si nécessaire
http://www.dlzlogic.com/Rouge_Noir.jpg
Le principe est le suivant. L'évènement étudié est le nombre de série de 1, 2, 3, 4 etc suites continues de boules de même couleur. Sur le graphique manuel, c'est noté de A à I.
En partie supérieure, le listing résultat. En bas, manuscrit les valeurs théoriques.
On constate que la réalisation correspond très bien avec les valeurs théoriques, ce qui est normal, puisque pour un grand nombre le résultat tend vers sa probabilité.

Le rapport avec le jeu de Léon, le joueur a tout intérêt à réfléchir avant de jouer.

[Edit) Ceci dit, le jeu ne m'intéresse pas.

Dernière modification par Dlzlogic (16-07-2016 18:37:37)

leon1789

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Re : La loi des grands nombres

dans un contexte de casino, il y a des boules rouges et des boules noires.
Supposons que le Rouge soit sorti N fois en suivant, est-il intéressant de parier sur Noir, ou pas ?

Je suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées
et qu'on ne connait pas le nombre de boules rouges et celui de boules noires. C'est bien ça ?

Supposons que le Rouge soit sorti N fois en suivant, ok, mais se souvient-on des tirages qui précédent ces N tirages ou pas ?

Dernière modification par leon1789 (16-07-2016 19:02:21)

Dlzlogic

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Re : La loi des grands nombres

Oui, naturellement il y a la même probabilité pour les boules rouges et pour les boules noires. C'est comme à pile ou face.
Dans la simulation, la machine tire à pile ou face. On note les résultats. Si un joueur veut jouer à ça, naturellement il a tout intérêt à noter l'ensemble des résultats, au fur et à mesure. Mais la machine ne fait que compter. C'est pas très difficile de faire une telle simulation.
Mais si tu veux, je peux t'indiquer le moyen que le joueur gagne, si tu me promets de le répéter à personne.

leon1789

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Re : La loi des grands nombres

On note les résultats. Si un joueur veut jouer à ça, naturellement il a tout intérêt à noter l'ensemble des résultats, au fur et à mesure.

C'est un fait important. Donc on sait combien de rouges sont sorties, et combien de noires.

Dans la simulation, la machine tire à pile ou face.

tu veux dire qu'il y a 1 chance sur 2 de tirer une rouge, et 1 change sur 2 de tirer une noire ? autrement dit, il y a autant de boules rouges que de boules noires  ?

Dernière modification par leon1789 (16-07-2016 19:13:57)

Dlzlogic

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Re : La loi des grands nombres

Ben oui.
Pour toi, qui est "on" ? Si c'est la machine, alors non elle ne le sait pas. Si c'est le joueur intelligent et qu'il dispose d'un papier et d'un crayon et qu'il note au fur et à mesure, alors oui.
Petite référence à un sujet auquel tu as participé, je crois. Nuage a sorti un générateur de nombres aléatoires. Ce générateur agissait exactement  comme tu sembles le sous-entendre "on" = la machine se souvient des tirages précédents. Ce simulateur s'appelait GenRand (j'emploie de passé parce qu'il est maintenant introuvable). Mais si ça t'intéresse je l'ai toujours dans ma machine.
Tu sais, c'est vraiment intéressant, si K. lit ce forum, il doit se retourner dans sa tombe. Il a bien essayé de construire une vague théorie, mais la dure réalité lui donne tort.

[Edit] En fait K. doit bien rigoler, pour plaire au parti politique, il a inventé un truc marrant et des quantités de gens sont tombés dans le panneau. Les gens comme Gauss, Laplace et leurs copains n'ont raconté que des c... et lui redresse la barre.
[en fait, je suis vachement sérieux]

Dernière modification par Dlzlogic (16-07-2016 19:40:27)

leon1789

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Re : La loi des grands nombres

Tu sais, c'est vraiment intéressant, si K. lit ce forum, il doit se retourner dans sa tombe. Il a bien essayé de construire une vague théorie, mais la dure réalité lui donne tort.
[Edit] En fait K. doit bien rigoler, pour plaire au parti politique, il a inventé un truc marrant et des quantités de gens sont tombés dans le panneau. Les gens comme Gauss, Laplace et leurs copains n'ont raconté que des c... et lui redresse la barre.
[en fait, je suis vachement sérieux]

Tu es sérieux ?! Tu inventes surtout n'importe quoi : personne n'a dit que  Gauss, Laplace et leurs copains n'ont raconté que des c...

Bon, revenons à ton jeu :
il y a une chance sur deux pour tirer une boule rouge, une chance sur deux pour tirer une noire.
Et tu demandes sur quelle couleur parier pour le prochain tirage ?

Dlzlogic

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Re : La loi des grands nombres

Oh, mais moi, je ne demande rien, en l'occurrence je montre une simulation faite il y a un certain temps, que j'ai montrée plusieurs fois et qui décrit une expérience aléatoire, exécutés avec un simulateur de nombre aléatoire, tout à fait standard, qu'il est est facile de contester, mais impossible de montrer qu'il ne respecte pas la condition d'aléatoire.
En référence, des échanges sur les simulateurs où la bonne foi n'était manifestement pas l'élément moteur des échanges.
En l'occurrence, cette expérience vérifie la loi des grand nombres : le résultat est conforme à sa probabilité. C'est le sujet en cours. (rien à voir avec une quelconque moyenne). Pour l'intimidation, il faut ouvrir un autre sujet.
A propos de Gauss et cie, que tu l'aies compris ou pas, ils établissent la théorie fondamentale des probabilités que l'on peut résumer en quatre points, le postulat de la moyenne, la notion de hasard, la loi des grands nombres et le TCL.

Et toi, de quoi parles-tu, que je suis un imbécile, que je n'y connais rien ? Quel argument as-tu, des cours sans queue ni tête, l'incapacité de résoudre des exercices simples, après avoir très longtemps contredit l'histoire de MH (un gadget) et surtout le "paradoxe" de Bertrand (problème fondamental), tu dis que tu es d'accord avec J.H. D'accord en quoi ?
Bon, pour une fois regarde-toi dans la glace et exprime-toi honnêtement.
Deux hypothèses :
1- les probabilités sont basées sur des notions sérieuses (déjà cité), indépendamment de K.
2- l'axiomatique de K. balaye tout et donne la vérité (!).

PS Pour vérification, le générateur Genrand a balayé d'un coup les essais réalisés de façon parfaitement honnête et indépendante d'un membre nomme Le_jeu. L'intervenant, dont le pseudo est Nuage (toujours actif) a apporté un générateur "malhonnête". Bon il y a deux solutions, soit tout va bien il a agi dans son propre intérêt, n'en parlons plus, soit il s'agit de maths et donc de rigueur, et il faut creuser le sujet.
Bonne soirée.
PS2, l'imagine que cela peut être étonnant et désagréable que le "paradoxe" de Bertrand soit contre-dit par une démonstration incontestable. C'était tellement pratique de sortir "quelle loi ?" c'est à dire "quelle solution vous ferait plaisir ?"

leon1789

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Re : La loi des grands nombres

On est là pour faire des maths, pas des blablas psycho-délirants !

Bon, visiblement, tu n'arrives même pas à répondre aux questions toutes simples que je te pose sur ton propre jeu :
Il y a une chance sur deux pour tirer une boule rouge, une chance sur deux pour tirer une noire.
Et tu demandes sur quelle couleur parier pour le prochain tirage ?

Dernière modification par leon1789 (16-07-2016 22:58:01)

Dlzlogic

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Re : La loi des grands nombres

Bonsoir,
Moi aussi, je pose la question de savoir si on parle de math ou de théorie.
Il me semble qu'un préalable indispensable est de préciser si une simulation du type pile ou face est acceptable on non.
Tout autre point du type psychologie, choix, préférence devra être étudie" et discutée après qu'on se soit mis d'accord sur ce préalable.
Sur un autre forum il y a un champion de ce type de notion. il s'appelle C C. Je croyais qu'ici, on parlait de maths.
[HS] je me demande si il n'y pas eu un mélange dans la succession chronologique de certains messages.[/HS]
Il me semble que le sujet "Loi des grands nombres" est simple, transparent et j'ai du mal à comprendre qu'il provoque de telle polémique. Léon se sentirait-il en porte-à-faux sur ce sujet, y aurait-il pour lui une incompréhension ?

Dernière modification par yoshi (20-07-2016 06:42:14)

leon1789

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Re : La loi des grands nombres

il s'appelle Christophe Chalons.

Fais attention, il pourrait porter plainte contre toi pour diffamation. :)

Je croyais qu'ici, on parlait de maths.
Il me semble que le sujet "Loi des grands nombres" est simple, transparent et j'ai du mal à comprendre qu'il provoque de telle polémique. Léon se sentirait-il en porte-à-faux sur ce sujet, y aurait-il pour lui une incompréhension ?

Justement, on parle de maths, ce qui n'est pas ton cas dans les messages précédents !

Tu présentes un sujet

dans un contexte de casino, il y a des boules rouges et des boules noires.
Supposons que le Rouge soit sorti N fois en suivant, est-il intéressant de parier sur Noir, ou pas ?

qui n'est même pas complet puisque tu ajoutes (suite à une question visiblement nécessaire)

On note les résultats. (...) un joueur (...) a tout intérêt à noter l'ensemble des résultats, au fur et à mesure.

Cette possibilité de noter (qui n'est pas autorisée en casino) aurait peu être une données importante
si le nombre de boules rouges et le nombre de boules noires étaient différents.

Mais là, dans le contexte que tu as fini par préciser difficilement (tu as bien du mal à poser clairement les énoncés), la réponse est simple. En effet, tu ajoutes également

naturellement il y a la même probabilité pour les boules rouges et pour les boules noires.

un détail pour toi, mais cela donne explicitement la réponse ! Puisqu'il y a équiprobabilité, alors peu importe le pari : on gagnera avec une proba de 0.5 .

leon1789

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Re : La loi des grands nombres

Pour EKawaii, Yoshi, Freddy, Yassine,

Ca y est, j'ai mon exemple de jeu où l'espérance est (infiniment) positive et pourtant le joueur court à sa ruine totale avec une probabilité de 1. J'en étais pas loin, mais là, c'est bon. (En fait, c'est un collègue qui vient de me rafraîchir la mémoire... ben oui, j'ai la mémoire qui flanche... bref)

Voilà : le jeu se déroule sur un nombre non limité de tours (contrairement au jeu de la vidéo). Au tour n° N, le joueur donne 1 euro pour lancer N fois une pièce équilibrée. S'il fait N fois pile, il remporte $2^{N+1}$ euros, sinon rien. Ainsi, à chaque tour, il a une probabilité de gain de $1/2^N$ de gagner $2^{N+1}$ euros. Ainsi, à chaque tour (indépendamment des tours précédents), son espérance de gain est donc de $2^{N+1}/2^N -1 = 1$ euro (ce qui le pousse à jouer à chaque tour).

Si on regarde le jeu dans sa globalité, avec une infinité de tours, l'espérance est $\sum_{n\geq 1} ( \frac{2^{n+1}}{2^n} - 1 ) = \sum_{n\geq 1} 1 = + \infty$ (donc cela a l'air génial pour le joueur : aucune limite de gain en moyenne) et pourtant, avec une probabilité de 1, son solde bancaire va tendre vers $-\infty$.

En effet, la probabilité que le joueur perde toujours (ie sans plus jamais gagner) à partir du tour n°N est $P_N = \prod_{n \geq N } (1-1/2^n)$
(pour N=1, cela vaut environ 0.29, ce qui est déjà beaucoup ; pour N=11, cela vaut environ 0.999).
Or cette probabilité $P_N$ tend vers 1 quand N augmente. Ainsi, avec une probabilité de 1, il existera un moment à partir duquel il ne fera plus que donner 1 euro à chaque tour sans jamais gagner. La ruine du joueur est assurée.

Une simulation avec plusieurs joueurs (en abscisse, le nombre de tours, et en ordonnée le solde du joueur, initialement 0)  :
Certains joueurs commencent par gagner du cash avec un peu de chance... mais ensuite...

Pour ce genre de jeu, ce n'est pas l'espérance qu'il faut calculer, mais un "intervalle" de fluctuation pour davantage de vraisemblance.
Par exemple, après le n-ième tour,
avec une probabilité > 0.55 , le solde du joueur sera dans cet ensemble {0-n, 4-n}
avec une probabilité > 0.75 , le solde du joueur sera dans cet ensemble {0-n, 4-n, 8-n, 12-n}
avec une probabilité > 0.9 , le solde du joueur sera dans cet ensemble {0-n, 4-n, 8-n, 12-n, 16-n, 20-n, 24-n, 28-n, 32-n, 36-n}
etc.

freddy

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Re : La loi des grands nombres

Salut leon de la révolution,

tu résumes parfaitement la source de l'addiction aux jeux de hasard : pourquoi continue t-on à miser alors qu'on perd ? Parce qu'à chaque fois, tu te convaincs que tu peux gagner "la lune" au prochain tour.
Ite missa est !

Dlzlogic

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Re : La loi des grands nombres

Bonjour,
C'est curieux, on parle de tout et de rien, sauf du sujet d'origine qui est la loi ds grands nombres.
Pour ceux qui auraient lu trop vite, je rappelle la définition que j'ai donnée : Soit une expérience réalisée un grand nombre de fois. La loi des grands nombre dit que le résultat tend vers sa probabilité.

Dans la simulation que j'ai donnée, la probabilité d'avoir une liste de 1 même couleur est 50%, 2 est 1/2² = 25%, 3 est 1/2^3 etc.
Les valeurs observées confirment cela.
Bonne journée.

Yassine

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Re : La loi des grands nombres

Soit une expérience réalisée un grand nombre de fois. La loi des grands nombre dit que le résultat tend vers sa probabilité.

à comparer à

La loi faible des grands nombres est également appelée théorème de Khintchine (rarement utilisé).

On considère une suite ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}} $ de variables aléatoires indépendantes définies sur un même espace probabilisé, ayant même variance finie et même espérance notées respectivement $V(X)$ et $E(X)$. La loi faible des grands nombres stipule que, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, la probabilité que la moyenne empirique ${\displaystyle Y_{n}\equiv {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}} $ s'éloigne de l'espérance d'au moins $\varepsilon$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.

Théorème —  ${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\quad \lim _{n\to +\infty }\mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}-E(X)\right|\geqslant \varepsilon \right)=0.}$.

Autrement dit, ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}$ converge en probabilité vers $E(X)$.
Ce résultat est très important en statistique, puisqu'il assure que la moyenne empirique est un estimateur convergent de l'espérance.

A un moment, quand on veut faire des mathématiques, et pour éviter toute confusion, il faut formaliser éviter le floue inhérent au langage.
C'est quoi le résultat d'une expérience ?
Pourquoi un résultat (qui à priori pourrait être un nombre quelconque) convergerait-il vers une probabilité ?
Il converge dans quel sens, en loi, presque surement ?
La démonstration de la loi faible est donnée ici et celle de la loi forte ici. Est-ce que tu as une formalisation mathématique de ce que tu avances (ne me renvoi pas vers ton site, j'ai lu ton papier et il n'y a pas le début du commencement d'une formalisation mathématique) et d'éventuelles démonstrations ?

yoshi

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Re : La loi des grands nombres

Bonjour,

(..) tend vers sa probabilité.

sa : adjectif possessif,  la probabilité de quoi ? du résultat ? quel résultat ? Celui de l'expérience ? Si oui, alors, qu'est-ce que ce résultat ?
Je lance un dé non pipé à 6 faces 1000 000 de fois, qu'est-ce que le résultat attendu ? l'équiprobabilité de sortie de chaque n° (ou couleur, si je remplace sur chaque face le ou les points par une couleur uniforme).

Le Dictionnaire de Bibmath donne comme définitions :
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … l/lgn.html
Objection(s) ?

Je vois que je suis trop lent. Yassine m'a devancé...

@+

Dernière modification par yoshi (17-07-2016 12:26:50)

Dlzlogic

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Re : La loi des grands nombres

Je vais essayer de répondre en n'utilisant que des termes que j'aurais définis.
"Soit une expérience réalisée un grand nombre de fois."
Extrait de mon pdf

Observation  :  C'est  un  terme  plus  général  que  mesure,  et  dans le  contexte  des probabilités, il peut être considéré comme synonyme. On pourra trouver des cas où  cette  distinction  peut  être  nécessaire.  Par  exemple,  on  observe  un  certain
phénomène mesuré par un comptage de nombre d'éléments, mais intervient aussi un facteur climatique que l'on cote
de 1 à 5, 1 : mauvais temps ; 5 beau temps.

Les termes "observation" et "expérience" sont à peu près interchangeables dans le contexte actuel.
L'expérience réalisée consiste à lancer un grand nombre de fois une pièce (ou jouer un grand nombre de fois avec des cases rouges et noires). L'élément observé est la suite continue de N Pile successifs, resp. Face.
L'évènement A est une suite de 1 Pile resp. 1 Face
L'évènement B est une suite de 2 Pile resp. 2 Face
L'évènement C est une suite de 3 Pile resp. 3 Face
L'évènement D est une suite de 4 Pile resp. 4 Face
etc.
On sait que l'évènement A a la probabilité de 50% (en fait 25% pour Pile et 25% pour Face).
L'évènement B a la probabilité de 25% (Pile 12.5% Face 12.5%)
etc.
" La loi des grands nombre dit que le résultat tend vers sa probabilité."
Le résultat est le nombre d'évènements A, le nombre d'évènements B etc.
L'expérience dont j'ai donné un résultat montre que les évènements A, B, C etc. ont effectivement les proportions approximativement égales à la probabilité théorique.
Comme la probabilité n'est pas la même pour chaque évènement, c'est à dire que les évènements ne sont pas équiprobable, le calcul d'une moyenne n'a pas de sens.   

Pourquoi un résultat (qui à priori pourrait être un nombre quelconque) convergerait-il vers une probabilité ?

Parce que c'est la loi des grands nombres, l'une des bases fondamentales des probabilités. Jette un coup d'oeuil sur le lien que j'ai donné à Léon. http://www.dlzlogic.com/Gauss1_19.pdf C'est un cours, et c'est pas moi qui l'ai écrit. Là, je pense que tu trouvera toutes les indications, explications et démonstrations que tu pourrais souhaiter. Je sais qu'il date d'une bonne cinquantaine d'années, mais je ne crois par qu'on ait inventé quoi que ce soit sur le sujet depuis cette date.

Yassine

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Re : La loi des grands nombres

Comme j'ai eu l'occasion de l'écrire, il y a trois théorèmes qui sont bien distincts :
La loi des grands nombres, dans sa version faible et forte : Ce théorème s'applique à une suite de variables aléatoire réelles indépendantes et identiquement distribuées. Il dit que la moyenne arithmétique de ces variable converge (en loi ou presque surement) vers l'espérance commune des variables (c'est garanti du 'identiquement distribuées'). Les autres caractéristiques sont d'égale importances :
1- Variable aléatoire réelle : On considère un nombre aléatoire, pas un label ou un événement. Un réel, élément de $\mathbb{R}$, un truc qu'on peut sommer par un autre truc et diviser par un autre non nul.
2- I.I.D : les variables aléatoire sont indépendantes et de même loi (dans le version faible, on peut se contenter de l'égalité des deux premiers moments : espérance et variance).
3- Variable qui converge : moyenne arithmétique (il n'y a aucune ambiguité dans ce terme) et type de convergence (en loi ou presque surement). Difficile d'expliquer ces termes si tu ne connais pas la théorie de la mesure de Lebesgue.

Ensuite, à partir de ce théorème, on peut établir le théorème fondamental de la statistique, dit encore théorème de Glivenko-Cantelli qui dit que la fréquence d'un événement converge vers sa probabilité. Le principe de la démonstration est assez simple : on associe à chaque événement (par exemple obtenir Face) la variable aléatoire réelle qui prend la valeur 1 si l'événement se réalise et zéro sinon. On voit bien que la moyenne arithmétique de ces variables aléatoires va coïncider avec la fréquence de l'événement en question. Et c'est la clé de la démonstration, utilisée également dans le papier que tu m'indiques. Ce qu est malheureux, c'est que l'auteur appelle ce résultat 'Loi des grand nombres' alors que c'est une conséquence de la loi des grands nombres.

Ensuite, le théorème Central limite, dont le cadre d'application est celui de la loi des grands nombres, à savoir une famille de variables aléatoires réelles I.I.D, permet de donner la loi limite de l'écart entre la moyenne arithmétique et l'espérance mathématique (normalisé par $\sigma \sqrt{n}$). Ce théorème est très utilisé pour donner un intervalle de confiance de l'erreur qu'on commet on prenant comme estimateur de l'espérance, la moyenne arithmétique. La loi des grand nombre nous permettant déjà de savoir que cette moyenne arithmétique est un estimateur sans biais de l'espérance.

Concernant tes définition de mesure est observation, je t'ai déjà dit que les trouve non rigoureuses et inapplicables.
Tu commences par dire qu'une mesure est une quantité à laquelle on peut appliquer les opérations arithmétiques. Tu joues sur le flou du langage. C'est quoi une quantité ? Si c'est la notion familière de nombre, à quoi sert cette qualification de "on peut lui appliquer les opérations arithmétiques", c'est déjà garanti pour les nombres ? si c'est autre chose, il faut la définir.
Tu pars ensuite dans un truc tout aussi flou de grandeurs physique extensives et intensives pour exclure la température de ton domaine d'étude. Donc, par exemple, si je veux faire une expérience impliquant la mesure de la température d'un objet donnée (on raisonne pour un masse fixée) que je bombarde avec un laser par exemple, en faisant varier la longueur d'onde, je ne peux pas !!!

Puis, tu définis l'observation comme un synonyme de mesure mais qu'on doit distinguer de temps à autre !!
Tu masques tout simplement ta non connaissance du cadre axiomatique des probabilité en inventant des notions floues. Dans le cadre axiomatique, on parle d'événements (j'obtient 3 fois pile au bout de 5 lancer, le température est comprise entre 10 et 50, il fait beau, ...) et de variables aléatoires réelles (qui sont des fonctions de l'ensemble $\Omega$ vers $\mathbb{R}$). Les événements sont des sous-ensemble de $\Omega$ et la probabilité est une mesure (au sens de la théorie de la mesure) sur ces ensembles (elle respecte $0 \leq P(A) \leq 1$, $P(\Omega)=1$ et la propriété de $\sigma$-additivité : la mesure d'une union d'événements disjoints deux à deux est la somme des probabilités.

Dlzlogic

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Re : La loi des grands nombres

D'abord, merci pour le temps que tu a pris pour me répondre. Je vais essayer de ne rien oublier.
Variable aléatoire réelle indépendantes et identiquement distribuées va r iid.
Depuis que j'ai vu cette expression, bien sûr j'ai compris de quoi on voulait parler, mais elle m'a toujours étonnée.
Variable : suivant ce qu'on lit, c'est une valeur numérique ou une fonction. Pourquoi, comme tu dis un peu plus loin, il ne pourrait pas s'agir d'un évènement ?
Le terme aléatoire est très important. Malgré mes recherches je ne l'ai vu défini nulle part dans les cours. Et même le contraire, quand on lit "quelle loi de hasard". Le paradoxe de Bertrand et la levée de bouclier que provoquent les discussions à ce sujet en sont une preuve supplémentaire.
Pourquoi [variable] réelle, on pourrait très bien avoir des variables appartenant à N ?
Indépendantes, c'est vrai, mais j'ai un contre-exemple.
Identiquement distribuées. Bien sûr on comprend ce que ça a envie de vouloir dire, mais ça contredit en quelle que sorte le terme "aléatoire".

Variable indépendante et de même loi. Là c'est la notion de "même  loi" qui est floue. Cela sous-entend qu'on connait la loi OUI ou NON ? Qu'on peut l'écrire sous forme mathématique ? Par exemple, le tir sur cible, quelle est la loi ? Quel est le nombre réel qu'on peut écrire pour caractériser un tir ? 

Pour la convergence, ok, je peux pas comprendre, donc je me limite à l'aléatoire qui ne dépend que DU hasard.

Moyenne arithmétique. Ca c'est le point fondamental. Pourquoi l'appelle-t-on "moyenne empirique", par pudeur ou pour laisser un flou artistique sur ce choix. Pourquoi on adopte la moyenne arithmétique ? J'ai posé très souvent la question, parce que c'est fondamental, généralement je n'ai pas de réponse, mais je me souviens d'une particulièrement savoureuse "ça dépend", une autre "fais comme tu veux". 

Ensuite, à partir de ce théorème, on peut établir le théorème fondamental de la statistique, dit encore théorème de Glivenko-Cantelli qui dit que la fréquence d'un événement converge vers sa probabilité.

Pour moi, c'est la loi des grands nombres.

Le TCL. Suivant mes lectures, Kolmogorov ne l'utilise pas. N'y aurait-il pas une petite contradiction ?
Suivant les cas, soit me dit "mais non, c'est en moyenne", ou "mais non, c'est la somme". Là c'est marrant, tu n'emploies pas l'expression "loi normale". Pourtant c'est bien de ça qu'il s'agit. On pourrait résumer grossièrement "tout phénomène aléatoire tend (ou converge) vers la loi normale". C'est tout de même plus simple, tu crois pas ?

Pour la suite, on verra plus tard, sauf un détail : si on veut chiffrer une notion de température on va mesurer ses effets, par exemple la dilatation.

Dlzlogic

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Re : La loi des grands nombres

Suite,
Te fais pas de bile pour JJ Levallois, il savait exactement ce qu'il écrivait.

Tu emploies le terme estimateur. Malgré mes nombreuses questions, je n'ai jamais pu savoir si un estimateur était une méthode pour "estimer" et une valeur "estimée". Est-ce un secret ?
Autre secret que je n'ai jamais réussi à percer : la signification de "biais". Bien-sûr on m'a renvoyé à des articles, des cours etc. Naturellement j'ai compris ce qu'on voulait dire par là, par contre, une définition valable dans tous les cas; jamais.
Autre terme très flou, "espérance". L'article de Wiki est clair, mais peut-on dire honnêtement que c'est une définition mathématique ? Et puis, quand on lui rajoute la qualité de "biais", alors on est sûr d'avoir raison dans tous les cas.

Une quantité peut être un nombre (de bouteilles de vin), une taille (de poissons), un poids, un diamètre ou une circonférence (d'une boule de pétanque), une position (d'un mobile), une disposition d'une corde (d'un cercle), une date (pour prévision de stock), une référence au temps qu'il fait (météo), un prix (suivi de magasin), mais pas un numéro de compte bancaire. A toutes ces quantités, on pourra rattacher un nombre.

Différence entre observation et mesure.
J'observe un phénomène (comptage de voiture). Je n'ai aucun moyen d'action sur cette observation. En plus du comptage, je peux noter le jour, l'heure etc.
Si je veux mesurer un phénomène, par exemple la période d'un pendule, je vais organiser ma méthode de mesure.

la mesure d'une union d'événements disjoints deux à deux est la somme des probabilités.

Ben non, c'est la racine carrée de la somme des carrés.

Pour ton information, je n'ai strictement rien inventé. Et toi, tu fais un amalgame entre "proportion" et "probabilité". D'ailleurs, il suffit de voir le nombre de termes dont le sens est peu défini, multiple, variable suivant les cas.

Tu ne m'as pas dit si tu avais compris le faux paradoxe de Bertrand.

Dernière modification par Dlzlogic (17-07-2016 18:27:05)

Yassine

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Re : La loi des grands nombres

Variable : suivant ce qu'on lit, c'est une valeur numérique ou une fonction. Pourquoi, comme tu dis un peu plus loin, il ne pourrait pas s'agir d'un évènement ?

C'est comme si tu me demandais pourquoi on définit ensemble et fonction !
Un événement est simplement un ensemble, plus précisément un sous-ensemble de l'ensemble $\Omega$, qui est l'ensemble de tous les états du monde (on note souvent $\omega$ les éléments de $\Omega$).
Prenons par exemple un monde restreint aux seuls résultats possible de deux lancers d'une pièce. Alors, $\Omega = \{FF, FP, PF, PP\}$ et l'événement "le premier lancer donne face" est $A=\{FF,FP\}$ alors que l'événement les deux lancers sont identique est l'ensemble $A=\{FF,PP\}$. Une mesure de probabilité est donc la donnée d'une "mesure" de ces ensemble. Une variable aléatoire est une fonction de $\Omega \to \mathbb{R}$. Si on veut par exemple modéliser une expérience on on attribue $10$ points à 'Face' et 3 points à 'Pile' et qu'on veut connaitre la somme de points après les deux lancers, alors, on définira $X$ par  $X(FF)=20$, $X(FP)=X(FP)=13$, $X(PP)=6$.
Maintenant, un point qui peut apporter la confusion quand on abordre cette axiomatique est que, souvent, on omet $\omega$. Par exemple, pour parler de l'événement  E : 'j'ai obtenu plus de 13 points', on va noter ça $E=\{X \geq 13\}$ (c'est incorrect de comparer une fonction et un nombre), alors que la notation plus rigoureuse (et plus longue) est $E=\{\omega \in \Omega \ | \ X(\omega) \geq 13 \}$. On s'habitue néanmoins assez rapidement à cette convention.

Le terme aléatoire est très important. Malgré mes recherches je ne l'ai vu défini nulle part dans les cours. Et même le contraire, quand on lit "quelle loi de hasard". Le paradoxe de Bertrand et la levée de bouclier que provoquent les discussions à ce sujet en sont une preuve supplémentaire.

Dans l'axiomatique de Kolmogorov, est qualifié d'aléatoire toute variable dont la valeur dépend de $\omega$. En quelque sorte, il faut qu'on connaisse l'état du monde pour connaitre la valeur de la variable. Le hasard, au sens "philosophique" ou courant du terme, n'est pas définit dans l'axiomatique de Kolmogorov.
Le paradoxe de Bertrand ne peut être entièrement compris sans une bonne connaissance de la théorie de la mesure.

Pourquoi [variable] réelle, on pourrait très bien avoir des variables appartenant à N ?

Jusqu'à preuve du contraire, $\mathbb{N}\subset \mathbb{R}$. La définition que j'ai donnée s'accommode très bien d'une variable qui ne prend que des valeur entière, ou que 0 et 1, etc.

Indépendantes, c'est vrai, mais j'ai un contre-exemple.
Identiquement distribuées. Bien sûr on comprend ce que ça a envie de vouloir dire, mais ça contredit en quelle que sorte le terme "aléatoire".

Quel est le contre-exemple ?
En quoi ça contredit le terme aléatoire ?
Si je prend 100 personnes assez semblables, que je leur donne des pièces identiques et que je leur demande de jeter la pièce, est-ce que les résultats des lancers ne sont pas indépendants et identiquement distribués ?

Variable indépendante et de même loi. Là c'est la notion de "même  loi" qui est floue. Cela sous-entend qu'on connait la loi OUI ou NON ? Qu'on peut l'écrire sous forme mathématique ? Par exemple, le tir sur cible, quelle est la loi ? Quel est le nombre réel qu'on peut écrire pour caractériser un tir ?

La notion de loi n'est absolument pas floue. Elle a une définition très précise.
La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est la mesure de probabilité, notée $\mathbb {P} _{X}$, définie  par $\mathbb {P} _{X}(B)=\mathbb {P} {\big (}X^{-1}(B){\big )}=\mathbb {P} (X\in B)$. Maintenant, quand je parle de la loi de distribution d'une variable (qui existe), ça ne veut pas dire que je peux l'écrire via des fonctions connue (type exponentielle pour la gaussienne). Je sais qu'il existe une loi de distribution des cours des actions, ça ne veut pas dire que je la connais (je serai riche sinon).

Moyenne arithmétique. Ca c'est le point fondamental. Pourquoi l'appelle-t-on "moyenne empirique", par pudeur ou pour laisser un flou artistique sur ce choix. Pourquoi on adopte la moyenne arithmétique ? J'ai posé très souvent la question, parce que c'est fondamental, généralement je n'ai pas de réponse, mais je me souviens d'une particulièrement savoureuse "ça dépend", une autre "fais comme tu veux".

Cela vient de multiples confusions. D'abord parce qu'on avait tendance à appeler l'espérance mathématique par "moyenne". Et donc, en statistique, on calculait la moyenne "empirique", au sens obtenue depuis un échantillon, pour estimer la moyenne mathématique (donc au sens espérance). Donc, "moyenne arithmétique d'un échantillon de donné" est synonyme de "moyenne empirique du même échantillon". Le terme "moyenne arithmétique" pouvant s'appliquer à des classes d'objets plus vaste, et notamment à des fonctions (moyenne arithmétique des variables aléatoires).
Je ne comprends pas la question "Pourquoi on adopte la moyenne arithmétique". Ce que j'ai, c'est que la moyenne arithmétique est un estimateur sans biais (converge à l'infini) de l'espérance mathématique. Je ne vois pas qui est ce 'on', ni ce que signifie 'adopte'.

Pour moi, c'est la loi des grands nombres.

Si tu as tes propres définitions et conventions, tu risques de ne pas comprendre et mal te faire comprendre des autres. La LGN est une chose, le théorème de Glivenko-Cantelli en est une autre.

Le TCL. Suivant mes lectures, Kolmogorov ne l'utilise pas. N'y aurait-il pas une petite contradiction ?

ça veut dire quoi : il ne l'utilise pas ? Ou aurait-il dû l'utiliser ?
Le TCL se démontre très bien dans le cadre de l'axiomatique de Kolmogorov. C'est un peu comme si tu disais que comme le théorème de Pythagore n'est pas mentionné dans les axiomes d'Euclide, alors il y a une contradiction !

Suivant les cas, soit me dit "mais non, c'est en moyenne", ou "mais non, c'est la somme". Là c'est marrant, tu n'emploies pas l'expression "loi normale". Pourtant c'est bien de ça qu'il s'agit. On pourrait résumer grossièrement "tout phénomène aléatoire tend (ou converge) vers la loi normale". C'est tout de même plus simple, tu crois pas ?

J'ai lu tout les échanges que tu as eu sur ce forum et il me semble pas avoir relevé de contradiction de la part de tes interlocuteurs. La somme de $n$ variables est égale à $n$ fois leur moyenne arithmétique. Si la moyenne arithmétique suit une loi normale de paramètre $\nu$ et $\sigma$, alors la somme suite une loi normale de paramètres $n\nu$ et $\sigma\sqrt{n}$.
Non, ton résumé est strictement faux.
Si on note $X_i$ les variables aléatoires IID, qu'on définisse ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {(X_{1}+X_{2}+...+X_{n})}{n}}}$ et
${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}={\frac {{\overline {\mathrm {X} }}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$, alors, le TCL dit que $Z_n$ converge vers une variable normale centrée réduite (donc de paramètre 0 et 1).
Les $X_i$ sont par définitions identiquement distribués. La loi de $X_n$ quand $n \to \infty$ sera toujours la même. Le phénomène qui fait tomber la pièce sur Pile ou sur Face ne va pas changer. D'ailleurs, il ne serait pas possible de parler d'une distribution normale des Pile ou Face. La distribution normale ne s'applique qu'a des variables aléatoires continues (pour une V.A. $X$ qui suit la loi normale, on a $\forall a \in \mathbb{R}, P(X=a)=0$. On parle de diffusion, la probabilité est toujours diffuse autour d'un point. On parle également de densité de probabilité : $P(X \in [a, a+da])=f(a)da$).

Pour le paradoxe de Bertrand, le lien donné par freddy donne une très bonne explication, je ne ferais pas mieux.