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BENABD.IK

Invité

la limite de la suite de fonction : fn(x)=nsin x (cos x)^n , n->+oo

Bonjour,

Soit la suite de fonctions suivante : f_n(x)=n.sin x.(cos x)ⁿ

Question : Est-ce que fn(x) converge uniformément sur [0,pi/2] ???

1) D'abord on étudie la convergence simple ::
              *pour x=kpi      fn(x) =0 et alors lim fn(x) =0 quand n->+oo
              *pour x!=kpi (différent) 
                                          |cos x|<1 donc   n.sin x.(cos x)ⁿ --> 0 quand n->+oo !!!!!!!!!!!!!!!!
_____________________________________________________________________________________________

Merci de m'expliquer cette dernière ligne de la limite de fn(x) qui vaut 0, ou bien me proposer d'autres solutions car je voulais tous simplement savoir si la limite de l'intégral égale à l'intégrale de la limite de la suite de fonctions ???

C'est très urgent aidez moi s'il vous plais !!!

Roro

Membre expert

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Messages : 1 803

Re : la limite de la suite de fonction : fn(x)=nsin x (cos x)^n , n->+oo

Bonjour,

Je n'ai pas lu en détail mais la dernière ligne ressemble à la limite d'une suite de la forme [tex]n\lambda^n[/tex] avec [tex]|\lambda|<1[/tex]. Elle tend donc vers 0 (comparaison croissance polynomiale-exponentielle).
Ensuite, il faut effectivement savoir si la suite converge uniformément ou pas vers 0...

Roro.

Dernière modification par Roro (10-07-2016 17:03:49)

Ostap Bender

Membre

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Messages : 242

Re : la limite de la suite de fonction : fn(x)=nsin x (cos x)^n , n->+oo

Le calcul direct de [tex]\int_0^{\pi/2}n\sin x(\cos x)^n\,\mathrm dx[/tex] ne me parait très difficile.

Tu auras ainsi la réponse à ta question, à savoir est-ce que la convergence est uniforme sur[tex][0,\pi/2][/tex].

Ostap Bender