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amine1

Invité

Polynôme

Bonjour,
Je voudrais savoir quelle est la définition d'un polynôme dégénéré à l'infini.
Quelqu'un peut m'aider?

Fred

Administrateur

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Re : Polynôme

Bonjour,

  Personnellement, je n'en sais rien, mais il semble qu'il y ait une définition de "non-dégénéré à l'infini pour son polygone de Newton".
Il y a une définition page 46 de cette thèse.

F.

amine1

Invité

Re : Polynôme

Bonjour, Fred voici la définition d'un polynôme non dégénéré dans la page 2 (formule (1.1)) ici.Mais je n'arrive pas à trouver la définition d'un polynôme dégénéré

Yassine

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Re : Polynôme

Je vais faire une réponse très triviale : polynôme dégénéré = non (polynôme non dégénéré) !
Dans l'exemple donné par ton article, la fonction $V(x) = (1+x_1^2)*x_2^2$ ne rempli pas la condition demandée à savoir $V(x) \to +\infty$ quand $|x| \to +\infty$. En effet, si on est sur la ligne $x_2=0$, alors $V(x)=0$, bien que $|x| = \sqrt{x_1^2+x_2^2}$ puisse être aussi grand qu'on veut sur cette ligne.

amine1

Invité

Re : Polynôme

Donc on a un polynôme est dit dégénéré s'il tend vers 0 dans une direction à l'infini?

Yassine

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Re : Polynôme

La négation de $\lim_{|x] \to \infty} V(x) = \infty$ n'est pas $\lim_{|x] \to \infty} V(x) = 0$. Elle peut ne pas avoir de limite ou tendre vers une autre limite que $0$.
Dans l'exemple donné, la fonction $V(x) = (1+x_1^2)*x_2^2$ n'a pas de limite. En dehors de la ligne réelle, elle va tendre vers $\infty$ mais elle vaudra toujours $0$ sur la ligne réelle.
Donc, la définition reste : $V(x)$ dégénérée ssi non($\lim_{|x] \to \infty} V(x) = \infty$)

--EDIT--
S'agissant de fonctions polynomiales, il est certainement possible de montrer que, soit la fonction tend $\infty$, soit elle s'annule sur une droite.

Dernière modification par Yassine (15-06-2016 13:47:12)

amine1

Invité

Re : Polynôme

D'accord ,
La définition de "V potentiel dégénéré "  suivante est elle juste:
V potentiel dégénéré ssi [tex]||\nabla V(x)||\le q(x)
[/tex]

où [tex]||.||[/tex] designe la norme dans [tex]R^n[/tex] et [tex]q(x)[/tex] est la forme quadratique de la matrice Hessienne associée à [tex]V[/tex]

Yassine

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Re : Polynôme

Je ne suis pas sûr de pouvoir répondre.
Juste une précision : la forme hessienne (ou forme quadratique associée à la matrice hessienne) est une application linéaire de $\mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}$. Quand tu note $q(x)$, est ce que c'est la forme hessienne au point $x \in \mathbb{R}^n$ (auquel cas je ne comprends pas le sens de $q(x) \geq .$) ou alors c'est la forme hessienne en un point non précisé $a$, évaluée en $x$ ?

Dit autrement, pourrais-tu écrire cette condition dans le cas $n=1$ ?

amine1

Invité

Re : Polynôme

[tex]q(x)[/tex] est la forme hessienne au point [tex] x\in\mathbb{R}^n[/tex]

je veux montrer que
V est  dégénéré ssi [tex]||\nabla V(x)||\le q(x) \forall x\in \in\mathbb{R}^n[/tex]

Par exemple: pour [tex]V(x_1,x_2)=x_1^2x_2^2[/tex] (qui est dégénéré) on a
[tex]||\nabla V(x)||=2||x|| et q(x) =2||x||[/tex]  donc on a [tex]||\nabla V(x)||\le q(x) \forall x\in \in\mathbb{R}^n[/tex]

Yassine

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Re : Polynôme

Je ne sais pas répondre avec certitude.

Ci-dessous un extrait de Wikipedia sur la théorie de Morse :

La théorie de Morse s'applique à une fonction différentiable réelle f sur une variété différentielle M. Les points critiques de f sont les points où la différentielle de f s'annule, les valeurs critiques sont les valeurs prises par f en ces points. En chacun des points, il est possible de définir le hessien de f comme une forme quadratique sur TxM. Le point critique x est dit non dégénéré lorsque le hessien correspondant est une forme quadratique non dégénérée. L'indice de x est défini comme la dimension du plus grand sous-espace défini négatif.

Quelque éléments d'intuition :

Les points critiques de $V$ sont ceux où son gradient s'annule. Ces points sont dégénérés lorsque le rang de la forme hessienne est inférieur à $n$. La négation de la condition que tu donnes implique que $q$ est définie négative aux points critiques. Et comme elle est définie, elle est non dégénérée. Je vois moins pour l'autre partie de l'implication.

Il y a peut-être des plus calés sur le forum qui peuvent mieux répondre que moi.

Yassine

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Re : Polynôme

Je corrige ce que j'ai dit.
J'ai dit que la négation de $\forall x, \|\nabla V(x)\| \leq q(x)$ était équivalente à $q(x)$ définie négative (lorsque $\nabla V(x) = 0$ pour un point critique). Ce qui n'est pas vrai. La définition de définie négative est plutôt $\forall x,  x \neq 0 \implies q(x) < 0$. Formellement, la négation de la condition est $\exists x, \|\nabla V(x)\| > q(x)$.
Je pense que la confusion vient du fait qu'il manque une variable.
La forme hessienne en un point $a \in \mathbb{R}^n$ est la forme quadratique associée à la matrice $H_a= (\partial_{ij}V|_a)_{0\leq i,j \leq n}$ et définie par $q_a:\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}$ telle que $\forall u \in \mathbb{R}^n$, $q_a(u) = u^TH_a u$.

Quand tu écris $x$ dans tes condition, est-ce que c'est le point où en évalue les dérivées ($a$ dans mes définitions) et est-ce que c'est la point où on évalue la forme quadratique ($u$ dans mes définitions). C'est important pour savoir sur quoi porte le quantificateur.
Pour la qualité de 'définie positive' ou 'définie négative', les quantificateurs portent sur $u$. Pour la singularité et la dégénérescence d'un point, les quantificateurs portent sur $a$.

Donc, dégénéré serait équivalent à $\exists x$ critique et dégénéré.
On sait que si la forme hessienne en un point critique est définie négative, alors le point est non dégénéré, soit :
$\forall a \in \mathbb{R}^n \left[\left(\nabla V_a = 0 \wedge \left(\forall u \in \mathbb{R}^n, q_a(u) < 0\right)\right) \implies a \textrm{ critique non dégénéré} \right]$

amine1

Invité

Re : Polynôme

Bonjour Yassine,
comment peut on prouver que si V est un polynôme alors  soit la fonction tend ∞, soit elle s'annule sur une droite?

Yassine

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Re : Polynôme

On ne peut pas parce que c'est faux !! (oui, j'ai dit une bêtise)
$f(x,y)=x^2 - y^2$ s'annule sur une parabole et non une droite.

amine1

Invité

Re : Polynôme

et on ce qui concerne l’équivalence:
V est  dégénéré ssi [tex]||\nabla V(x)||\le q(x) \forall x \in\mathbb{R}^n[/tex]
vous avez montré quelle est juste?car j'e n'ai pas compris votre message

Yassine

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Re : Polynôme

Non, j'ai dit que la notation $q(x)$ était ambigüe.
On peut voir $q$ comme une fonction de deux variables $x \in \mathbb{R}^n$ et $u \in \mathbb{R}^n$, où $x$ est le point où on détermine la forme hessienne et $u$ le point où en l'évalue, ce serait donc une notation type $q(x,u) > ...$ où $q(x,u)=u^TH_x u$. Du coup, comme il n'y a qu'un seul quantificateur dans ta formule ($\forall x$), je ne sais pas à quelle variable il se réfère ni quel est la quantificateur sur l'autre variable.

amine123

Invité

Re : Polynôme

Bonjour Yassine
J'ai fait une erreur, l’équivalence à démontrer est la suivante:

[tex]V[/tex] potentiel dégénéré ssi [tex]||\nabla V(x)||\le Hess V(x)
[/tex]

où [tex]Hess V(x)[/tex] désigne le hessien de [tex]V[/tex]

Yassine

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Re : Polynôme

Que veut dire $\displaystyle ||\nabla V(x)||\le Hess V(x)$ ?
D'un côté de l'inégalité, tu as un réel positif ou nul (la norme d'un vecteur) et de l'autre une matrice !

amine123

Invité

Re : Polynôme

le [tex]Hess V[/tex] est le déterminant de la matrice hessienne associé à [tex]V[/tex]

Yassine

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Re : Polynôme

Il y a un sens qui me semble facile : le sens direct :
Si $x$ est un point critique de $V$, alors $\nabla V(x) = 0$. $V$ est non dégénéré en $x$ si son hessien est non nul. Donc, $Hess V(x) < 0$ implique que $V$ est non dégénéré, soit encore $Hess V(x) < \|\nabla V(x)\| \implies V$ est non dégénéré, soit encore, en prenant la contraposée
$V$ dégénéré $\implies Hess V(x) \geq \|\nabla V(x)\|$.
Je ne vois pas comment faire l'autre sens.

Cela suppose bien sûr que la notion de point critique dégénéré ou non dégénéré rejoint la définition du potentiel dégénéré ou non (un potentiel est non dégénéré s'il n'admet aucun point critique non dégénéré).