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#1 07-06-2016 16:35:03
Théorème des moments
Bonjour à tous,
j'ai le problème suivant : je dispose d'une variable aléatoire réelle [tex]X[/tex], de fonction caractéristique [tex]\phi(t)=\phi_X(t) := E[e^{itX}][/tex] telle que [tex]E(e^{\alpha \vert X \vert} )< +\infty[/tex], pour un [tex]\alpha > 0[/tex]. J'aimerai montrer que [tex]\phi[/tex] est analytique réelle.
J'ai suivis une preuve proposée dans le livre de Barbe et Ledoux ("Probabilité" pages 65-66), on montre que :
[tex] \vert \phi(t+h) - \phi(t) - \frac{h}{1!}\phi^{(1)}(t) - \ldots \frac{h^{n-1}}{(n-1)!}\phi^{(n-1)}(t) \vert \leq E(\vert X \vert^n) \frac{\vert h \vert^n}{n!} [/tex]
et là les auteurs concluent que la fonction [tex] h \mapsto \phi(t+h)[/tex] est analytique sur [tex]]-\alpha, +\alpha[[/tex], ce que je ne comprends pas. On voudrait que le terme de gauche dans l'inégalité tende vers 0 avec n... non ?, mais j'obtiens seulement que
[tex] E(\vert X \vert^n) \frac{\vert h \vert^n}{n!} \leq E(e^{\alpha \vert X \vert}) < +\infty[/tex].
Si quelqu'un pouvait m'éclairer, ce serait chouette !
Edit : en fait je crois avoir trouvé :
[tex] E(\vert X \vert^n) \frac{\vert h \vert^n}{n!} \leq \vert h \vert^n \frac{1}{\alpha^n} E(\frac{\alpha^n \vert X \vert^n}{n!}) \leq \frac{\vert h \vert^n}{\alpha^n} E(e^{\alpha \vert X \vert }) [/tex], désolé !
Dernière modification par Choukos (07-06-2016 17:42:29)
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#2 07-06-2016 20:52:53
- Fred
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Re : Théorème des moments
Salut,
C'est cela. Peut-être plus simplement (mais en fait c'est la même chose), si $|h|<\alpha$, on a aussi $ E(e^{|h| |X|})<+\infty$, et donc
la série $\sum_n \frac{|h|^n E(|X|^n}{n!}$ converge.
F.
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