Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Caroline254

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Fonction dérivable

Bonjour, voici ce que je dois montrer.

Soit f, une fonction dérivable.
Montrer que si f' a p zéros distincts, f a au plus p+1 zéros distincts
En déduire que l'équation x¨n + ax = b = 0 ne peut avoir plus de 2 racines réelles si n est pair et plus de trois si n est impair.

J'ai commencé ma preuve en utilisant quelques corollaires découlant du théoreme de Rolle car je sais qu'entre 2 tangentes horizontales à une courbes ( deux racines de la dérivée) il existe au plus une racine de la fonction. Est-ce seulement une généralisation de ce que je viens de dire? Merci de votre aide.

galdinx

Modo gentil

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Re : Fonction dérivable

Bonsoir,

Je pense que tu devrais montrer la contraposée a savoir que si f a p+2 racines (ou plu) alors f' ne peut pas avoir p racines distinctes en utilisant effectivement le théorème de Rolle

En effet (P => Q) <=> (nonQ => nonP)

Rappel du théorème de Rolle : Soit f :[a,b]de R dans R telle que f soit continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a) = f(b) alors il existe c dans ]a,b[ telle que f’(c)=0.

Donc entre chacune des p+2 racines distinctes de f tu as une racine de f' et donc un minimum de p+1 racines et ne pouvait donc pas avoir p racines.

J'espère etre clair (et juste) ; je te laisse chercher la suite, reviens en cas de soucis.

A++

Galdinx

Caroline254

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Re : Fonction dérivable

Merci beaucoup, je medite la dessus et reviens donner des nouvelles

MissCocktail22

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Re : Fonction dérivable

dis moi caroline254, tu serais pas etudiante a l'uqam dans le cours d'analyse 1??

Caroline254

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Re : Fonction dérivable

Ah ah ah, oui il me reste malheureusement que ce numero  et le numero 9, j'aime beaucoup ce forum, il m'aide beaucoup a avancer dans mes preuves et de meme de mieux comprendre certains principes mathématiques.

Pour revenir au numero, je ne suis pas si sur de la démarche....Je comprend ou tu veux en venir, j'irais avec

si f a p zéros distincts cela implique que f' a  au moins p-1 zéro distinct. Je crois que c'est a peu pres ce que tu voulais dire. Avec cette contraposée, ca vient bien plus facile a trouver une methode de le prouver. Merci