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Grégoire87math

Invité

Système à 4 inconnues

Bonsoir,
Je suis un élève de seconde générale ayant à faire un devoir maison de mathématiques où je rencontre des difficultés à résoudre deux systèmes de quatre équations chacun. Mon problème est qu'à chaque fois que j'ai une ligne où il ne me reste plus qu'une inconnue, je tombe sur 0=0, ou je retombe sur une des autres lignes du système. Je ne comprends pas, car d'habitude les systèmes à 2/3 inconnues ne me posent aucun problème... C'est pourquoi je sollicite votre aide.
Voici les systèmes :

(a+b+c)d=420          160=a+b
(a+c+d)b=403          110=c+d
(a+b+d)c=363          130=a+d
(b+c+d)a=228          140=b+c

yoshi

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Re : Système à 4 inconnues

Bonsoir,

Tu sais bien que 0 = 0 veut simplement dire que c'est toujours vrai alors que tu attendrais une solution unique.
Je regarderai ton premier système demain sauf si quelqu'un le fait avant.

Concernant ton 2e système, il est simple de voir qu'il y a au moins deux quadruplets solutions distincts :
je prends a = 100 et b = 60
J'en tire :
d = 130 - a = 30
et
c = 110 - d = 80
(a,b,c,d)=(100,60,80,30)

Je prends a=105 et b = 55
d = 130 - 105 = 25
c = 110 - 25 = 85
(a,b,c,d)=(105,55,85,25)

Et il y en a bien d'autres...
Le système admet donc bien une infinité de solutions.
Pas d'affolement donc...

@+

freddy

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Re : Système à 4 inconnues

Salut,

pour le second système, ça veut dire qu'en réalité, une des équations se déduit des 3 autres. Donc, fixe par exemple d= m, paramètre réel et recommence la résolution. Tu vas trouver a, b et c en fonction de m.

Grégoire87math

Invité

Re : Système à 4 inconnues

D'accord, merci beaucoup, je réessayerai demain ! Bonne soirée

Ostap Bender

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Re : Système à 4 inconnues

Bonjour Grégoire.

Je n'ai pas d'idée percutante pour le premier système, et certainement pas avec les outils de la classe de seconde.

Je pose [tex]s=a+b+c+d[/tex]. J'obtiens
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
d^2+sd-420 &=&0\\
b^2+sb-403 &=&0\\
c^2+sc-363 &=&0\\
a^2+sa - 228 &=&0 \end{array} \right.$$
Chaque équation admet deux solutions, une positive, une négative.
$$d = \dfrac{-s\pm\sqrt{\Delta_d}}2;\quad b = \dfrac{-s\pm\sqrt{\Delta_b}}2;\quad c = \dfrac{-s\pm\sqrt{\Delta_c}}2;\quad a = \dfrac{-s\pm\sqrt{\Delta_a}}2\quad,$$
avec
$$ \Delta_d = s^2+420;\quad  \Delta_b = s^2+403;\quad  \Delta_c = s^2+363;\quad  \Delta_a = s^2+228;\quad .$$
J'additionne pour trouver
$$s = -2s + \dfrac12 \left( \pm\sqrt{\Delta_a} \pm\sqrt{\Delta_b} \pm\sqrt{\Delta_c} \pm\sqrt{\Delta_d} \right),$$
Soit
$$6s = \pm\sqrt{\Delta_a} \pm\sqrt{\Delta_b} \pm\sqrt{\Delta_c} \pm\sqrt{\Delta_d}.$$
J'en suis là.
J'imagine [tex]2^4=16[/tex] études de fonctions pour trouver [tex]s[/tex] puis résoudre les quatre équations en gardant en mémoire les valeurs de [tex]\pm[/tex] pour chaque inconnue.

Bref, ce n'est pas simple. Mais j'ai peut-être oublié quelque chose de simple.

Ostap Bender

Grégoire87math

Invité

Re : Système à 4 inconnues

Bonjour,
Merci beaucoup d'avoir pris le temps de chercher !
Je comprends le début de vos calculs mais un peu moins la suite, je pense en effet que ce n'est pas la méthode attendue pour des secondes..
Mais c'est très gentil à vous d'avoir voulu m'aider !
Je vous souhaite un bon après-midi .

yoshi

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Re : Système à 4 inconnues

Bonjour,

Je n'ai pas d'idée percutante pour le premier système, et certainement pas avec les outils de la classe de seconde.

C'est sûr ! Parce que l'usage du discriminant, c'est 1ere...
J'ai pensé un moment pouvoir contourner le problème via le passage à la forme canonique.
Hélas, après vérification, je vois ce commentaire au BO du prg de 2nde :
Savoir mettre sous forme canonique un polynôme de degré 2 n’est pas un attendu du programme.

Bon, alors je vais repartir (si j'ai du courage) de ce sur quoi j'avais arrêté hier (sans aucune idée de là où cela peut me mener) :
[tex](a+b)(d-c)=57[/tex] obtenu en soustrayant les lignes 1 et 3 puis en factorisant...

@+

Ostap Bender

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Re : Système à 4 inconnues

Yoshi, tu es génial.

$$a =6;\quad b=13;\quad c= 11; \quad d= 14.$$

Obtenus par une méthode difficilement avouable... mais clairement grâce à toi !

Ostap Bender

Grégoire87math

Invité

Re : Système à 4 inconnues

Ainsi Ostap vous avez réussi à trouver !! C'est super merci de donner de votre temps pour cela :)
Pourriez vous m'expliquer au moins le début de votre méthode s'il vous plaît ?
J'en serais très reconnaissant !
Merci d'avance

Ostap Bender

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Re : Système à 4 inconnues

Je suis parti du principe que la solution est à la portée d'un elève de seconde. C'est pour cela que dans ma première méthode, j'allais supposer que toutes les solutions étaient positives. Ici j'ai supposé de plus qu'elles étaient entières.

En reprenant la méthode de Yoshi, j'ai effectué les six soustractions qui me donnent
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
(a+c)(b-d) &=&17\\
(b+d)(c-a) &=&135\\
\ldots &=& \ldots
\end{array}\right.$$
Pour avoir un produit d'entiers égal à [tex]17[/tex] je n'ai pas beaucoup de choix : [tex]d-b = 1[/tex] et [tex]a+c=17[/tex].

En reportant dans l'autre équation :
[tex](2b+1)(2c-17)=135=27\times5[/tex].
Un coup de pifomètre m'a donné [tex]2b+1=27[/tex] et [tex]2c-17=5[/tex] comme solution possible (mais il y en a d'autres !)
J'en déduis les valeurs de [tex]a,b,c[/tex] et [tex]d[/tex] et bingo ! ça marche.

Reste à savoir s'il y en a d'autres.

Tout cela n'est pas très rigoureux : Pifomètre et coup de chance.

Ostap Bender

Grégoire87math

Invité

Re : Système à 4 inconnues

Vous êtes un génie !!! J'ai appliqué cette méthode et j'ai trouvé les solutions en très peu de temps ( en effet, j'avais oublié de le préciser, a b c et d sont des entiers naturels). Et dire que j'ai passé mon après-midi hier à décortiquer ce système sans voir que la méthode de résolution était toute simple finalement...
En tout cas merci infiniment !!!

freddy

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Re : Système à 4 inconnues

Salut,

proverbe africain : "tout seul, on va plus vite, ensemble, on va plus loin" !
Quant à l'oubli (a, b, b, c et d sont des entiers naturels, c'est essentiel dans le sujet !!!). T'as compris pourquoi, au moins ?!
Allez, ciao tutti !

yoshi

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Re : Système à 4 inconnues

Bonsoir,

En ce moment, la journée, je suis un zombie par manque de sommeil, aussi suis-je étonné d'avoir eu l'idée (merci Ostap de ton qualificatif si généreux), mais aussi un peu déçu de n'avoir pas pensé que 57 = 1*57 ou 57 = 3*19...
C'était pourtant un raisonnement classique...

En écho à freddy, il y a très très longtemps (à partir de 1968 et durant quelques années), j'écoutais le soir sur Europe1 une émission (comme on n'en fait plus, hélas) appelée Campus animée par un certain Michel (?) Lancelot...
Je viens de vérifier sur la toile c'est bien Michel le prénom.
Il y avait cité un proverbe Bantou (qui devint le titre d'un des ses livres) : le jeune lion dort avec ses dents... que je vais adapter à ma situation temporaire actuelle (ça devrait s'arranger) en  le vieux lion dort avec ses souvenirs...
Il m'arrive donc de temps en temps d'avoir une intuition, mais qu'il donc difficile d'être et d'avoir été !
Bon, c'était ma minute de philosophie...

Sur ce, comme on dit : il n'est de bonne compagnie qui ne se quitte... Adoncques, je vous salue bien bas.

@+

Ostap Bender

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Re : Système à 4 inconnues

Une référence - je viens de la découvrir, je n'ai pas eu le temps de la parcourir - de notre maître à tous, Leonhard Euler :

Problema algebraicum de inveniendis quatuor numeris ex datis totidem productis uniuscuiusque horum numerorum in summas trium reliquorum, Opera Postuma 1 (1862), 282–287. E808 dans le catalogue Eneström.

Il en existe une traduction en anglais par Jordan Bell (Toronto)

Ostap Bender

Dlzlogic

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Re : Système à 4 inconnues

Bonjour,
J'ai eu l'occasion de devoir résoudre un système de N équations du second degré à N inconnues. La (ou les) solution(s) sont non entières et les valeurs des paramètres sont réelles, donc aucune astuce calculatoire n'est possible.
J'ai utilisé une méthode basée que le principe que si l'écart à la valeur précise de la solution au carré est négligeable par rapport à sa valeur au degré 1.
Cette méthode nécessite de connaitre une valeur approximative de la solution. C'est généralement assez facile pour un cas réel.

Ostap Bender

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Re : Système à 4 inconnues

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Ostap Bender