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#1 20-03-2016 13:58:08
- charlock
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décomposition PLU
bonsoir ;
j'ai une question concernant la décomposition d'une matrice A=PLU : à la derniere étape on se trouve dans un mélange de transvections et de permutations comment s'en sortir la forme A= PLU ?
merci
Dernière modification par charlock (20-03-2016 13:58:41)
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#3 21-03-2016 10:28:00
- charlock
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- Messages : 62
Re : décomposition PLU
Bonjour ,
c'est un fichier intéressant sauf je ne trouve pas une réponse à ma question . je sais pas est ce que je dois clarifier encore ma question ?
Dernière modification par charlock (21-03-2016 10:29:15)
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#6 21-03-2016 15:24:24
- Fred
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- Messages : 7 348
Re : décomposition PLU
Je ne sais pas exactement comment fonctionnent les algorithmes qui calculent la décomposition PLU, mais on peut s'y prendre autrement, en commençant par démontrer qu'il existe une matrice de permutation P telle que la matrice PA vérifie la condition pour avoir une factorisation LU. C'est je crois assez facile à démontrer par récurrence sur l'ordre de la matrice A. Algorithmiquement, on peut avoir la présentation suivante :
1. Si n = 1, retourner [tex]P = (1), L = (1), U = (a_{1,1})[/tex].
2. Trouver un élément [tex]a_{i,1}[/tex] non nul dans la première colonne de [tex]A[/tex].
3. Définit une matrice de permutation [tex]Q[/tex] telle que [tex]Q_{1,i}=Q_{i,1}=1[/tex], [tex]q_{j,j} = 1, j\neq 1,i[/tex], et tous les autres éléments de [tex]Q[/tex] sont nuls.
4. On pose [tex]B=QA[/tex], de sorte que [tex]b_{1,1} = a_{i,1} \neq 0[/tex].
5. On applique la première étape de la décomposition LU à [tex]B[/tex] (sur la première colonne). Pour cela, on écrit
[tex] B= \left(
\begin{array}
{cc}
b_{11} & r^T \\ c & B'
\end{array} \right).
[/tex]
6. On obtient ainsi la matrice [tex]B_1 = B' - c \cdot r^T / b_{11}[/tex] sur laquelle on peut calculer par récurrence la décomposition PLU : [tex]B_1 = P_1 L_1 U_1[/tex].
7. On pose :
[tex]P \; = \; Q^T \left(
\begin{array}
{cc}
1 & 0 \\ 0 & P_1
\end{array}\right),
L=\left(\begin{array}{cc}
1&0\\
P_1^T c/b_{1,1}&L_1
\end{array}\right),
U=\left(\begin{array}{cc}
b_{1,1}&r^T\\
0&U_1
\end{array}\right)[/tex]
de sorte que l'on a bien [tex]A=PLU[/tex].
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