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Monamy

Invité

interpréter une idée

Bonjour.

J'ai eu l'occasion de corriger le problème suivant :

une urne contient deux jetons verts, un bleu et n rouges,[tex] n >=2[/tex].
On tire successivement et sans remise deux jetons de l'urne.
Pour chaque jeton vert tiré, on gagne 10 € ;
pour le jeton bleu, on gagne 4 € ;
pour chaque jeton rouge, on perd 3 €.

Déterminez n pour que le jeu soit équitable.

La stratégie choisie a été de traduire jeu équitable par espérance de X nulle, où X est la variable aléatoire donnant le gain à l'issue des deux tirages.

On est alors ramener à résoudre une équation du second degré qui renvoie [tex]n=8[/tex] comme solution convenable.

Mais voilà, une autre stratégie menant également à [tex]n = 8[/tex] a été évoquée :

2 jetons verts à 10 € soit 20 € ; 1 bleu à 4 € soit 4 €, n rouges à - 3 € soit -3n €.

On veut l'équilibre, soit [tex]20 + 4 -3n =0[/tex]  soit [tex]n=\frac{24}{3}=8[/tex].
"
Là, je me suis dit, coup de bol, ça n'a pas de sens ce "[tex]20 + 4 -3n =0[/tex]".

Mais bon, comme j'ai voulu trouver un contre-exemple, j'ai pris, [tex]-a[/tex], [tex]b[/tex] et [tex]c[/tex] les gains associés à Rouge, Bleu, Vert.

L'espérance nulle amène à [tex]-a n^2+(b+2c-2a)n+2(n+2c)=0[/tex] soit [tex]n=\frac{b+2c-2a+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex] avec [tex]\Delta = (b+2c-2a)^2+8a(b+2c)=(b+2c+2a)^2[/tex], (se voit en posant [tex]B=b+2c[/tex], [tex](B-2a)^2+8aB=B^2-4aB+4a^2+8aB=B^2+4aB+4a^2=(B+2a)^2[/tex]).

D'où [tex]n=\frac{b+2c}{a}[/tex].

Or que donne la stratégie 2 ? Ben [tex]2c + b -na=0[/tex] soit [tex]n=\frac{b+2c}{a}[/tex].

Est-ce à dire que si le jeu est équitable pour un tirage, il le sera pour deux ?

Même si ça à l'air vrai ici, j'ai un doute, vu que si on effectue plus de deux tirages, il n'y aura plus que des pertes, et donc que le jeu ne pourra plus être équitable.

Bilan, je vois que ça donne le bon résultat, mais je ne trouve aucun sens à cette mise en équation : [tex]2c + b -na=0[/tex].

Si quelqu'un en trouve un, merci de partager.

p.s. J'ai eu la flemme, pour le moment de regarder le cas supergénéral : n jetons rouges à - a euros ; p bleu à b euros ; q vert à c euros, 2 tirages.
L'hyper général non plus, avec t tirages !

Bonne journée.

freddy

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Re : interpréter une idée

Salut,

es tu sûr que n=8 est bien la solution ???

PS : c'est ok, on a  -2 et 8 comme solutions.

Dernière modification par freddy (13-03-2016 10:17:24)