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elie

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suite: nouveau pour moi

bonjour à tous,

Le prof nous a donné ce devoir alors que l'on a peine commencé le chapitre sur les suites, pour voir comment on se débrouille mais voilà moi je ne me débrouille pas bien ! veuillez bien vouloir m'aider SVP:

Dans les deux parties n désigne un entier naturel strictement positif.

Partie A

Une entreprise emprunte à une banque la somme de 100000 Euros le 01/01/2007.
La banque se rémunère avec 1% d'intérêt mensuel de la façon suivante: le dernier jour de chaque moi écoulé, elle augmente la somme due de 1%.

onn a donc s1= 100000 s2=101000.

1. Dans cette question, pour rembourser son emprunt, l'entreprise paye une mensualité de 3000E le premier jour de jaque moi, à partir du 01/02/2007.
On appelle Rn la somme totale remboursée apres la "n ième " mensualité; on a donc r1=3000.
Exprimer Rn en fonction de n.

merci

yoshi

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Re : suite: nouveau pour moi

Bonsoir,

Pas très clair...
Dans ta question 1, ton remboursement est bien indépendant de la somme empruntée ?
Si c'est le cas, la question devient  :
A raison de 3000 € (le € --> touche Alt Gr + E) remboursés par mois, quelle somme totale a-t-elle été remboursée après le  n-ième remboursement ?

3 verbes-clé : Observer, comparer, Déduire...

Tu te fais un petit tableau:
R1 = 3000
R2 = 3000 + 3000 = 6000
R3=  6000 + 3000 = 9000
R4 = 12000
.............
C'est là qu'il faut ouvrir l'oeil pour trouver le rapport qu'il y a entre l'indice et la somme remboursée.
Donc, autre petit tableau :

Indice (n° de l'échéance)  1      |  2     |  3       | 4       .............   
......Somme remboursée  3000 | 6000  |9000   | 12000

Et on voit : 3000 = 3000 x 1  ; 6000 = 3000 x 2  ;  9000 = 3000 x 3  ; 12000 = 3000 x 4
Conclusion ?

@+

elie

Invité

Re : suite: nouveau pour moi

rebonjour,

on peut donc dire que R est une suite géométrique, n'est-ce pas?

sinon j'ai un peut du mal avec une autre question:

Dans cette question on suppose que l'entreprise ne rembourse rien.
On appelle Sn la somme due le premier jour du "N ième " mois.
D'apres ce qui précède on a S1=100000 et S2=101000

a) Calculer S3 et S4 puis exprimer Sn en fonction de n.

b) Représenter graphiquement Sn sur une durée de 3ans dans un repère bien choisi.

c) Quel est le taux d'intérêt annuel pour la première année et pour la deuxieme ?

J'ai du mal avec la question c)! et sinon quel repère me conseilleriez-vous ?

merci

elie

Invité

Re : suite: nouveau pour moi

mais ce n'est toujours pas fini c'est un long devoir!!

voici la deuxieme partie j'ai pu répondre aux questions 1 2 mais pas aux questions 3 et 4 !! aidez moi merci:

On conserve les hypothèses suivantes:
-Somme initiale empruntée: 100000E le 01/01/2007
-taux d'intérêt mensuel: 1% augmentation de la somme due à la fin de chaque mois
-Remboursement mensuel: 3000E le 1er de chaque mois à partir du 01/02/2007

On appelle Vn la somme restant due le 2ème jour du Nième moi, n-1 mensualités de 3000E ayant déjà été versées.

On a donc: V1=100000 et V2=98000
1. Calculer v3 et v4, puis exprimer vn+1 en fonction de vn.
2) On pose Un=Vn+a pour tout entier n>0, a étant un nombre réel. Monterr qu'on peut choisir a de façon que (Un) soit géométrique.

3) En déduire les expressions de Un et de Vn en fonction de n.
ici je bloque...
4) Au bout de combien de mensualités le remboursement sera-t-l terminé?

pour cette dernière question je sais qu'il faut résoudre Vn=0 mais je n'y arrive pas !!

voila, merci de votre attention

yoshi

Modo Ferox

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Re : suite: nouveau pour moi

Bonjour,

Réponse au post de 13 h (sur différence entre "arithmétique" et "géométrique")...
Hélas, non...
N'allons pas trop vite.
Rn est une suite arithmétique de 1er terme 3000 et de raison 3000 : ainsi Rn s'écrit Rn = 3000 + 3000(n-1).
A cause de la coïncidence entre le 1er terme et la raison, on peut aussi écrire ainsi que je le suggérais hier soir (c'est une simple factorisation) Rn = 3000n...
Exemple classique de suite arithmétique : les intérêts simples.
On place 3000 € à 5% l'an. Quelle est en fonction de n la somme disponible au bout de la n-ième année.
1 an après : 3000 + 3000*0,05 = 3000 + 150 =3150
Avec ce système, l'intérêt servi chaque année est le même : 150 €.
2 ans après : 3000 + 150 x 2 = 3300
3 ans après : 3000 + 150 X 3
La n-ième année : 3000 + 150n
1er terme 3000, raison : 150

Exemple classique de suite arithmétique : les intérêts composés.
Dans la réalité, ce n'est pas ainsi que ça passe...
1 an après -- > 3150 € disponible -- > pas de chgmt
2 ans après -- > 3150 + 3150 x 0,05 =3150 + 157,50 = 3307,5
Les intérêts qui te sont servis portent sur la totalité de la somme déposée : tu as donc des intérêts sur les intérêts de la 1ere année...
3e année : 3307,5 + 3307,5 x 0,05 = 3472,875
Et la n-ième année ?
Appelons [tex]x[/tex] la somme de départ (1er terme). On obtient :
An 1 --> [tex]S_1=x + x \times 0,05 = x(1 +0,05) = 1,05x[/tex]
An 2 --> [tex]S_2=1,05x + 1,05x \times 0,05 = 1,05x(1 +0,05) = x\times 1,05^2[/tex]
An 3 --> [tex]S_3=1,05x^2 + 1,05x^2 \times 0,05 = 1,05x^2(1 +0,05) = x\times 1,05^3[/tex]
A la n-ième année : [tex]S_n=x\times1,05^n[/tex]
La raison est 1,05

Vois-tu la différence ?

@+

PS La suite (si j'ose dire) arrive. Patience, on est sur un Forum, pas sur un site de Chat !

yoshi

Modo Ferox

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Re : suite: nouveau pour moi

Re,

Post de 13 h (suite)
L'Entreprise ne rembourse rien et sa dette s'accroît donc de 1% de la somme initiale chaque mois : on est dans le cas décrit dans le post précédent des intérêts "simples".
S1 = 100000 + 100000 x 0,01 = 100000+1000 = 101000
S2 = 101000 + 1000 = 100000 + 1000 x 2 = 102000
S3 = 102000 + 1000 = 100000 + 1000 X 3 = 103000
Sn = 100000 + 1000n

Représentation graphique :
Le nb de mois en abscisse : 3 ans = 36 mois... Vu la taille dune feuille de papier millimétré je prendrais 5  mm par mois
Les sommes en ordonnées : tu varies de 100000 à 136000 €.
Tu constates facilement que 1 cm pour 100 € --> de 100 à 136 cm ! Trop grand
1mm pour 1000 € --> de 10 cm à 13,6 cm.
Y a encore de la place sur la feuille...
Donc je prendrais 2 mm pour 1000 €, ou si tu préfères 1 cm par tranche de 5000 €...
Tu vas avoir à tracer une droite, représentation graphique d'une fonction affine.

Définition du taux intérêt annuel : c'est l'intérêt servi chaque année pour un capital de 100 € placé. Simple calcul de proportionnalité.
Le taux est le même chaque année.

Je regarde le post de 16 h.

A bientôt,

yoshi

Modo Ferox

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Re : suite: nouveau pour moi

Re,

Bon, si tu as trouvé le 1) et le 2) tu ne devrais pas bloquer sur le 3) :
Qu'as-tu trouvé ? (commençons par à)
Si Un est une suite géométrique de raison k, on a [tex]U_{n+1}= k.U_n[/tex] et de fil en aiguille [tex]U_{n+1}= k^{n+1}.U_1[/tex]
Avec ton a et la valeur de V1, tu en déduis celle de U1, et donc l'expression de Un en fonction de U1 et de [tex]k^n}[/tex]
Après à partir de l'expression de Un, connaisant a et sachant que Un = Vn +a tu écris simplement que Vn = Un -a...

Fais-nous part de tes calculs, s'il te plaît !

Pour la question 4 : As-tu vu les logarithmes ?

@+

elie

Invité

Re : suite: nouveau pour moi

re,

En ce qui concerne la question 3. je sais que Un=U1*1.01^(n-1) ... je suis allé jusqu'à Vn=Un+300000 mais apres je ne vois vraiment pas c'est bizarre mais je bloque, ça se trouve c'est tout bête....

De plus nous venons a peine de commencer le chapitre sur les suites car je suis en 1° S et nous n'avons toujours pas vu les logarithmes..

donc pour la question 4 je n'y arrive pas la revoila et il y a une derniere question:

4. Au bout de combien de mensualités le remboursement sera-t-il terminé? Calculer le montant total de ces mensualtés.

5.Quel devrait etre le montant des mensualités pour que l'emprunt soit remboursé en 10 ans (120 mensualités) ?

Sinon pour ce matin c'était juste pour etre sur mais je fait bien la difference entre une suite arithmétique de la forme: Un+1=Un+r
Et        Un+1= Un*q

voila tout et merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : suite: nouveau pour moi

Bonsoir,

Je ne mets pas ta parole en doute, mais un exercice comme celui-là, quoique assez classique, en tout début d'étude "pour voir comment vous vous débrouillez" c'est une affirmation assez difficile à avaler...
Mais, passons...
Bon, ok ! En 1ere pas de logarithmes, donc va falloir tatonner...
Mais d'abord :
[tex]V_{n+1}= 1,01V_n-3000[/tex]
Avec V1 = 100000 Et U1 = V1-30000 = -200000 c'est ça le maillon manquant (relis ce que je t'ai écrit dans le dernier post) !
Attention, négatif !!!

Or tu as écrit que
[tex]U_n=1,01^{(n-1)}.U_1[/tex]
C'est donc du tout cuit...
Tu te crées un tableau de valeurs pour n compris entre 35 et 40 mois de 1 mois en 1 mois...
Pourquoi 30 ?
[tex]\frac{10^5}{3\times 10^3}\approx 33[/tex]
Or, il y a des intérêts chaque mois, donc on commence à 35... Si à 40 ce n'est pas assez on continue un peu...
Ne t'attends pas à trouver une valeur exacte ! Il te faudra donner la valeur approchée au mois près par excès...

Pour la dernière question,  tu as n = 120... et tu cherches la valeur de la mensualité.
Je n'ai pas trouvé, ce soir de méthode plus simple que celle qui suit (et la trouve un peu effroyable)...
Bon, tu pars d'une mensualité x,
tu gardes la suite auxiliaire Un avec ses propriétés...
Tu pars de de  [tex]V_{n+1} = 1,01V_n-x[/tex]
Tu bricoles de la même façon qu'avec 3000 et tu tombes si mes calculs sont bons sur a = -100x...
A partir de là tu écris que [tex]U_1= V_1+a=V_1-100x = 100000-100x[/tex]
Puis tu repars sur : [tex]V_n=U_n -a = 1,01^{n-1}(100000-100x)+100x[/tex]
Et finalement : [tex]V_{120}= 1,01^{119}(100000-100x)+100x=0[/tex]
Et c'est une "bête" équation à résoudre (un peu ch... à cause du [tex]1,01^{119}[/tex]) mais sans difficulté majeure...

@+

PS
Bon, c'est fini pour ce soir : ton "petit camarade" au pseudo à rallonge, patientera (du moins en ce qui me concerne) jusqu'à demain... Ca vaut mieux pour lui... Je risquerais de bâcler... D'autres se chargeront probablement de lui.

Si un mien "petit camarade" d'ailleurs a trouvé plus simple sur ce sujet qu'il n'hésite pas...

[EDIT]
Pas d'autre idée (à vrai dire, je n'ai pas cherché et l'idée ne m'est pas venue d'elle-même...)
Je trouve 1441 € par excès, résultat que je trouve plausible :
durée triple (donc des frais supplémentaires) et somme remboursée un peu supérieure au 1/3 du remboursement initial.
D'ailleurs, le travail "à l'envers" à partir de 1441 € donne pour valeur de n-1 : 118,995, soit pour n : 119,995 donc 120, ça colle...

Dernière modification par yoshi (18-04-2007 17:32:40)

elie

Invité

Re : suite: nouveau pour moi

rebonjour,

merci infiniment pour votre aide mais on bloque complètement moi et mon camarade sur la question 4!! et encore plus pour la 5 j'ai essayé de retrouvé 100x

aidez moi sil vous plait !

merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : suite: nouveau pour moi

Bonsoir,

Si vous ne trouvez pas la 4., je ne vois qu'une explication : votre formule est fausse...

Alors, reprenons.
V1=300000 ; U1 = -200000 d'acoord ?
D'où
[tex]U_n=-200000\times 1,01^{n-1}[/tex]
Et par voie de conséquence, comme Vn = Un -a et a = -300000 :
[tex]Vn=300000-200000\times 1,01^{n-1}[/tex]
D'où
[tex]200000\times 1,01^{n-1}=300000[/tex]
[tex]1,01^{n-1}=\frac{300000}{200000}=1,5[/tex]
Vous prenez votre calculette et faites des essais consécutifs de caculs de [tex]1,01^{n-1}[/tex] jusqu'à avoisiner 1,5...
Pas bien sorcier tout de même !

La question 5., je dis pas : méthode "improbable" sortie de neurones tombant du 1er coup sur des méthodes "tordues" (ça a toujours été comme ça, alors j'ai appris à me méfier... ;-) )
Bon, je vais refaire (j'ai jeté mon bouillon) ce que j'avais fait hier.
Je garde :
[tex]U_n=U_1\times 1,01^{n-1}[/tex] et aussi [tex]U_n=V_n+a[/tex]
J'appelle x le remboursement mensuel, j'ai donc :
[tex]V_{n+1}=1,01V_n-x[/tex]...

J'ai donc :
[tex]U_{n+1}=V_{n+1}+a[/tex]

[tex]U_{n+1}=1,01V_n-x+a[/tex]

[tex]U_{n+1}=1,01(U_n-a)-x+a[/tex]

[tex]U_{n+1}=1,01U_n-1,01a-x+a[/tex]

[tex]U_{n+1}=1,01U_n-0,01a-x[/tex]

Et la seule possibilité pour que Un soit une suite géométrique, c'est que le morceau supplémentaire soit nul :
[tex]{-}0,01a-x=0[/tex]

D'où a = -100x

C'est clair, cette fois ?

@+

elie

Invité

Re : suite: nouveau pour moi

re,

encore une derniere question:

pourrais-je avoir plus de détail pour l'équation 1.01^119(100000-100x)+100x=0 car le prof ne veut pas qu'on lui"balance "les resultats directs car on ne sait pas encore utiliser le menu " equation" de notre calculette...
merci bien

enfin en ce moment on se trouve dans une situation assez désagréable car on doute de partout!!
on sait que notre suite est Sn= S1*1.01^(n-1)
soit en + simple Sn+1= 1.01Sn

Or on a trouvé que le montant serait payé au bout de 42 moi environ mais quant on fait 3000*42 et quand on calcule S42 on ne trouve pas la meme chose, conclusion plus d'idées...

elie

yoshi

Modo Ferox

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Re : suite: nouveau pour moi

Bonsoir,

si ça peut te rassurer, ma calculette graphique date "un peu", elle n'a plus de piles et n'avait de toutes façons pas de menu "équation"...
Je fais avec ma tête et la calculette Windows digne des calculettes d'il y a 10 ans avec sa foutue notation polonaise inversée : en bref, elle fonctionne "à l'envers" par rapport au calcul manuel...

[tex]V_{120}= 1,01^{119}(100000-100x)+100x=0[/tex]

[tex]1,01^{119}\times 100000-1,01^{119}\times 100x+100x=0[/tex]  développement

[tex]1,01^{119}\times 100000-100x(1,01^{119}-1)=0[/tex]  mise en facteur de -100x

[tex]x\times 100(1,01^{119}-1) = 1,01^{119}\times 100000[/tex] mise en évidence du bon coefficient de x

[tex]x=\frac{1,01^{119}\times 100000}{100(1,01^{119}-1)}[/tex]

Ca devrait suffire et c'était pas la mer à boire... Sans vos calculettes, vous ne savez plus rien faire alors ?
<< Science sans conscience n'est que ruine de l'âme ! >> a dit chais plus qui...

Soit on s'arrête à n=40 et on prend la valeur par excès pour n-1 soit n-1 = 41 et n = 42..
Soit on va jusquà la puissance 41 de 1,01 qui vaut environ 1,503 et dans ce cas, on s'arrête là n=42

@+

Tu ne peux pas faire 42*3000 --> tu ne tiens pas compte du fait qu'au début de chaque nouvelle échéance la somme due a augmenté de 1% par rapport à celle qui était due après paiement de la précédente échéance...
Donc, ça fausse tes calculs trop simples... C'est normal !

elie

Invité

Re : suite: nouveau pour moi

Un joli bonjour en ce matin ensoleillé pour yoshi

Je suis tout à fait d'accord avec vous sur le fait que nos cervelles soient complètement dépendantes des calculatrices et que cela soit une bien mauvaise situation ( personnellement on me l'a dit plusieurs fois ) mais que pensez-vous d'un prof qui vous dit : "pourquoi va-t-on se casser la tête alors que nous disposons de nouvelles technologies".. (sans coms)

A part cela un grand merci à vous pour tout le temps que vous me consacrer!

Enfin ultime question je pense.. avant  que je ne m'éclipse dans d'autre matière (car cette année c'est avant tout le bac français) : donc pour la question 2. que revoilà :
" Dans cette question, pour rembourser son emprunt, l'entreprise paye une mensualité de 3000 E le premier jour de chaque moi, à partir du 01/02/2007.
On appelle Rn la somme TOTALE remboursée ap^rès la 'n ième ' mensualité; on a onc R1= 3000.
Exprimer Rn en fonction de n."
Donc en fait on a pas Rn=3000n? d'apres ce que je viens de lire ...

yoshi

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Re : suite: nouveau pour moi

Bonjour ensoleillé aussi,

Oui, tout à fait...
3000n est le remboursement théorique sans intérêt... Mais il y a ces 1% mensuels !

D'ailleurs les histoires de prêts, c'est une vraie "usine à gaz". A tel point que mi par défi mi par intérêt (c'est le cas de le dire), j'ai écrit (y a pas de mal de temps) un petit programme (libre de droits :-) )appelé Phynance (Clin d'oeil au titre de l'ouvrage d'Alfred JARRY "La pompe à phynances") répertoriant tous les types de prêt existants (à l'époque), calculant les remboursements et les coûts finaux des différents prêts...
J'y ai programmé un truc de fou (qui n'existe plus maintenant) : un prêt progressif avec 3 taux différents et un "différé d'amortissement" (période pendant laquelle, on ne paie que des intérêts sans rembourser de capital).
Car c'est bien le problème de notre entreprise fictive, avec un taux prohibitif de 12 % l'an, son emprunt de 100000 € va lui avoir "coûté bonbon" au bout des 42 mois (et je ne parle même pas des 120 mois)...
On peut arriver à devoir rembourser le double voire le triple de la somme empruntée : c'est à regarder de près...
C'est une réponse que je n'ai pas apportée, je vais tâcher d'y réfléchir...

Quant à la petite phrase "Pourquoi va-t-on se casser la tête alors que nous disposons de nouvelles technologies ?", je redirai simplement ce que j'ai écrit hier : "Science sans conscience n'est que ruine de l'âme" !
Je dis ça sous une autre forme, quand on sollicite de moi, l'autorisation d'utiliser une calculette (ou qu'on saute dessus sans prévenir) : << La calculette, vous pourrez l'utiliser quand vous aurez fait la preuve que pouvez vous en passer. Je reconnais et revendique la volonté de paradoxe de la formule...
Ceci dit, quand j'ai besoin d'obtenir le résultat  approché d'un calcul comprenant une racine carrée par exemple, je ne me paie pas "l'extraction" de la racine carrée à la main, je prends bien ma calculette : je gagne du temps...

@+

PS
Dans cet exercice, Vn désigne la somme restant due après le n-ième mois de remboursement
Le 42e versement de l'entreprise ne sera pas (ne pourra pas être) de 3000 € : il sera du reliquat majoré de l'intérêt de la somme due après le 41e versement.
Chaque intérêt sera donc de 1% des sommes dues, des versements 1 à 41....
On a donc :

[tex]I=0,01\times\sum_{k=1}^{41} (300000-200000\times 1,01^k)[/tex]
Ca veut dire 1% du total des sommes dues de l'échéance 1 à 41 (écriture mathématique abrégée)
Ou encore :
[tex]I=\sum_{k=1}^{41} (3000-2000 \times 1,01^k)[/tex]

[tex]I=3000\times 41 - 2000\times \sum_{k=1}^{41} 1,01^k[/tex]

[tex]I=3000\times 41 - 2000\times\frac{1-1,01^{41}}{1-1,01}[/tex]

D'où I = 22249,53 € arrondi au centime d'euro près : voilà le coût du prêt pour un versement mensuel de 3000 €..
J'ai fait la simulation avec un tableur : je retrouve la somme au centime près...

elie

Invité

Re : suite: nouveau pour moi

re,

je suis tout à fait d'accord avec vous ...

mais de tout cela, qui est clair et précis, quelle est donc l'expression de Rn de manière simplifiée ?

merci

elie

Invité

Re : suite: nouveau pour moi

aussi ce que je voudrais savoir c'est:

1% le mois veut focément dire 12% l'année? pourquoi on effectue 1*12 même avec des pourcentages?
parce que moi pour trouver le taux d'intéret j'ai calculé S12 et S24 avec Sn= s1*1.01^(n-1). Mais ça me parait bcp trop avec S42 ça fait jusqu'a 50% d'interet!

yoshi

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Re : suite: nouveau pour moi

Bonjour,

Non, ça ne fait pas vraiment 12%
Tu ouvres Excel ou le tableur d'OpenOffice.org
Dans la cellule A1, tu tapes 100000
Dans la cellule A2, tu tapes :
=A1*0,01-3000
Tu sélectionnes les cellules de A2 à A42
Avec OpenOffice menu Edition --> Remplir -->vers le bas (Si Excel : Edition --> Recopier --> vers le bas)
Dans la celle B2, tu tapes :
=A1*0.01
Et tu recopies ou remplis vers le bas jusqu'à B42...
Dans B43 par exemple, tu tapes :
=Somme(B2:B42)
Voilà pour la simulation...
On dit 12 %, soit 1% par mois, mais (cf simulation) c'est (1% de V1) + (1 % de  V2 )+ .....
Le vrai taux de 12 % serait pour un seul remboursement par an... Ce système est plus avantageux parce que c'est 1% d'une somme qui va en diminuant... Ce qui ,en fin de compte, donne un taux global annuel recalculé un peu inférieur à 12 %...
(OpenOffice.org est un produit LIBRE et gratuit, ceci si tu n'as pas excel : ça marche aussi bien).

Tu as écrit dans ton 1er post : "On appelle Sn la somme due le premier jour du "N ième " mois."
Pour ton calcul de S12 et S24, ça ne peut pas marcher (cf simulation) : tu fais comme si les sommes S1, S2, S3....S12 étaient toujours les mêmes ! Ce qui est inexact :  S1 > S2 > S3.... >S12
En outre avec ta formule, la somme due chaque mois augmente au lieu de diminuer...

Rn = remboursement total au bout des n mois = 100000 + coût total du prêt (cf autre post)...

@ +

elie

Invité

Re : suite: nouveau pour moi

Bonjour,

merci infiniement pour votre aide et pour le temps que vous m'avez consacrer