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AMAL2

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factorisation d'un polynome sur un corps fini

bonjour,
pour factoriser un polynome sur un corps fini, on peut utiliser souvent l'algorithme de berlekamp? sinon, existe-il une autre methode ??
par exemple ,je veux factoriser P(X)=X^5+20X+16 modulo 3 et module 7
(je pense que ce polynome est irreductible modulo 3, puisque sur F3, P n'a pas de racines et j'arrive pas à montrer qu'il est irréductible sur F9), merci.

Ostap Bender

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Re : factorisation d'un polynome sur un corps fini

Bonjour Amal.

Le polynome [tex] (X^2+1)^2[/tex] n'a pas de racine sur [tex]\mathbf{F}_3[/tex]. Pourtant il est réductible. Ton raisonnement est à revoir.

Le polynôme [tex]P[/tex] admet deux racines sur  [tex]\mathbf{F}_7[/tex]. Tu peux donc le factoriser
[tex]%(x+2) (x+3) (x^3+2x^2+5x+5) [/tex]

Sinon l'algorithme de Berlekamp fonctionne bien, dès qu'on lui donne la majuscule auquel il a droit.

Ostap Bender.

AMAL2

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Re : factorisation d'un polynome sur un corps fini

Et quelles sont les deux racines de P sur F7 ? et comment vous les avez remarqué?

Ostap Bender

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Re : factorisation d'un polynome sur un corps fini

Pour les remarquer, ce n'est pas bien difficile. [tex]\mathbf{F}_7 = \mathbf{Z}/7\mathbf{Z}[/tex]. Il suffit de prendre les congruences modulo 7.
Un tableur le fait très bien par exemple.

Sinon, soit [tex]x[/tex] une racine de [tex]P[/tex]. On a [tex]x\neq0[/tex] et [tex]x[/tex] est racine de [tex]X^6-x^2+2X[/tex]. Or [tex]x^6 = 1[/tex] (petit Fermat)
donc [tex]-x^2+2x+1=0[/tex] donc [tex](x-1)^2 = 2[/tex]. Comme [tex]2 = 3^2=(-3)^2 = 4^2[/tex], les racines sont[tex]3+1=4[/tex] et [tex]4+1=5[/tex].

Ce sont les seules, reste à voir si elles sont simples.

Ostap Bender

amal2

Invité

Re : factorisation d'un polynome sur un corps fini

merci beaucoup pour votre explication :)