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Monfort

Invité

Unicité de fonction lipschitzienne

Bonjour,

Voici un problème intéressant dont je ne trouve pas la solution:
Soit [tex]E \subset \mathbb{C}[/tex] non vide, et [tex]f: E \rightarrow \mathbb{C}[/tex] une fonction [tex]k[/tex]-lipschitzienne avec [tex]k \in \mathbb{R}[/tex].
On suppose que [tex]E[/tex] est dense dans [tex]\mathbb{C}[/tex].
Montrer que l'on peut prolonger [tex]f[/tex] de façon unique tel que [tex]\tilde{f} : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}[/tex] et [tex]\tilde{f}(e)=f(e)[/tex]  avec [tex]e \in E[/tex]

Toute suggestion est bienvenue!
Merci.

Ostap Bender

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Re : Unicité de fonction lipschitzienne

Bonjour Monfort.

Soit [tex]z\in \mathbf C[/tex] et [tex](z_n)_n[/tex] une suite d'éléments de [tex]E[/tex] qui converge vers [tex]z[/tex]. Que peux-tu dire de la suite  [tex](f(z_n))_n[/tex] ?

Ostap Bender

Monfort

Invité

Re : Unicité de fonction lipschitzienne

Salut,
Je pense avoir bien réussi a montrer l'existence, j'ai du mal a conclure et particulièrement conclure sur l’unicité:
Soit [tex]u_n[/tex] suite de [tex]E[/tex] alors [tex]u_n \rightarrow x \in \mathbb{C} \implies |\tilde{f}(u_m)-f(u_n) |= |f(u_m)-f(u_n)| \leq k|u_m - u_n| \rightarrow 0[/tex]

Ostap Bender

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Re : Unicité de fonction lipschitzienne

L'unicité ne pose pas de problème. Une fois que tu as démontré que [tex]\displaystyle (f(u_n))_n[/tex] converge (et j'ai du mal à voir une démonstration dans ce que tu as écrit) l'unicité de la limite te donne l'unicité du prolongement.

Ostap Bender