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robinson T

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Espérance et fonction de répartition

Je voudrai savoir comment démontrer que limite quand x->+infini de x(1-F(x))=0 ou F est une fonction de repartition

Ostap Bender

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Re : Espérance et fonction de répartition

Bonsoir Robinson.

Pour une loi de Cauchy, tu as [tex]F(x)=\frac1{\pi}\left(\frac{\pi}2+\arctan(x)\right)[/tex]. Que vaut [tex]\lim_{x\to+\infty}x(1-F(x))[/tex] ?

Ostap Bender

robinson T

Invité

Re : Espérance et fonction de répartition

Bonsoir Ostap Bender
Pour vous dire vrai je ne vois pas encore ou vous voulez en-venir

Fred

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Re : Espérance et fonction de répartition

Je pense qu'elle veut te donner un exemple qui montre que la propriété que tu veux démontrer est fausse!!!

F.

robinson T

Invité

Re : Espérance et fonction de répartition

Ok je vois oui oui oui
s'il vous plait dans quel cas cette propriété peut elle être vrai ?

robinson T

Invité

Re : Espérance et fonction de répartition

Bonjour j’espère que vous allez bien!!!
En fait le problème est de montrer par une intégration par partie  que E(x)=intégrale de zero à infini de (1-F(x))dx
j'ai posé u=1-F(x)----> u'= -f(x); v'=1-----> v=x donc pour arriver au resultat il faut donc montrer que uv entre 0 et infini donne zero. c'est donc de la que viens le problème que j'ai posé hier

Fred

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Re : Espérance et fonction de répartition

Re-

Tu aurais dû nous donner les informations depuis le début, et tu devrais peut-être nous donner toutes les informations de ton énoncé!
Que sais-tu sur [tex]X[/tex]? Est-ce une variable aléatoire admettant une densité? est-elle positive? sait-on si son espérance existe????

L'exemple que donne Ostap Bender est justement un exemple de variable aléatoire n'admettant pas d'espérance.

F.

robinson T

Invité

Re : Espérance et fonction de répartition

Bonjour j’espère que vous allez bien!!!
En fait le problème est de montrer par une intégration par partie  que E(x)=intégrale de zero à infini de (1-F(x))dx
j'ai posé u=1-F(x)----> u'= -f(x); v'=1-----> v=x donc pour arriver au resultat il faut donc montrer que uv entre 0 et infini donne zero. c'est donc de la que viens le problème que j'ai posé hier

NB: x est une variable aléatoire nonnegative

Fred

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Re : Espérance et fonction de répartition

C'est toi qui veut faire avec une intégration par parties, ou c'est demandé explicitement?
Parce que moi, je ferai cette preuve plutôt avec le théorème de Fubini, en commençant par remarquer que
[tex]1-F(x)=P(X\geq x)=\int_x^{+\infty} f(t)dt[/tex]
et donc
[tex]\int_0^{+\infty}(1-F(x))dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_x^{+\infty}f(t)dt\right)dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_{0}^t dx\right)f(t)dt=\int_0^{+\infty}tf(t)dx[/tex]
le changement dans l'ordre d'intégration étant justifié par le fait que tout est positif.

Ceci ne fonctionne que si X admet une densité f, mais c'est adaptable à toute variable aléatoire positive.

F.

Dernière modification par Fred (30-01-2016 17:40:35)

robinson T

Invité

Re : Espérance et fonction de répartition

Bonsoir Fred
Oui c est demande explicitement et moi même je veux bien savoir comment ça se démontre. J ai lu dans un doc aujourd hui ou eux aussi utilise une integration par partie et ils confirme que UV entre zero et infini donne zero sans dire comment ?

Fred

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Re : Espérance et fonction de répartition

C'est un peu plus dur avec une intégration par parties.
On fixe [tex]x>0[/tex] et on a par intégration par parties :
[tex]\int_0^x tf(t)dt=x\big(1-F(x)\big)+\int_0^x \big(1-F(t)\big)dt[/tex].
On distingue alors deux cas :
* Soit il existe une suite [tex](x_k)[/tex] telle que [tex]x_k\big(1-F(x_k)\big)\to 0[/tex] et on passe à la limite dans l'égalité précédente le long de cette suite [tex](x_k)[/tex]
* Soit ce n'est pas vrai. Mais alors, il existe [tex]\delta>0, A>0[/tex] tel que, pour tout [tex]t>A[/tex], on a [tex]t\big(1-F(t)\big)\geq \delta[/tex] et donc [tex]1-F(t)\geq\delta/t[/tex]. Mais alors l'intégrale [tex]\int_0^x \big(1-F(t)\big)dt[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex] si [tex]x\to+\infty[/tex]. Comme tout est positif, on a finalement en faisant tendre [tex]x[/tex] vers [tex]+\infty[/tex] dans l'égalité issue de l'intégration par parties :
[tex]E(X)=+\infty=\int_0^{+\infty}x\big(1-F(x)\big)[/tex]

F.

---------------------
J'ai fait une erreur de signes dans le calcul de l'intégrale, et donc ça ne fonctionne pas!

Dernière modification par Fred (03-02-2016 17:12:56)

freddy

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Re : Espérance et fonction de répartition

C'est toi qui veut faire avec une intégration par parties, ou c'est demandé explicitement?
Parce que moi, je ferai cette preuve plutôt avec le théorème de Fubini, en commençant par remarquer que
[tex]1-F(x)=P(X\geq x)=\int_x^{+\infty} f(t)dt[/tex]
et donc
[tex]\int_0^{+\infty}(1-F(x))dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_x^{+\infty}f(t)dt\right)dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_{0}^t dx\right)f(t)dt=\int_0^{+\infty}f(x)dx[/tex]
le changement dans l'ordre d'intégration étant justifié par le fait que tout est positif.

Ceci ne fonctionne que si X admet une densité f, mais c'est adaptable à toute variable aléatoire positive.

F.

Salut Fred,

je pense qu'il manque un terme à la fin de la chaîne d'égalité.

Si j'ai bien suivi, tu as montré, comme prévu, que :
[tex]\int_0^{+\infty}(1-F(x))dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_x^{+\infty}f(t)dt\right)dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_{0}^t dx\right)f(t)dt=\int_0^{+\infty}tf(t)dt[/tex]

Idem dans ta dernière preuve, faut commencer par [tex]\int_0^x tf(t)dt =\cdots[/tex]

Cela étant, c'est plus facile de faire les finitions que de poser les fondations :-)

Fred

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Re : Espérance et fonction de répartition

Merci Freddy!

freddy

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Re : Espérance et fonction de répartition

Salut,

à titre d'information, il faut savoir qu'on utilise couramment cette technique pour calculer l'espérance de vie avec une table de mortalité (qui est une loi de survie sous la forme de la fonction de répartition cumulée décroissante) à un âge donné.