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OUATTARA

Invité

Decomposition en éléments simple de fraction rationnelle

Bonsoir !!! besoin d'aide svp

F(X) = 2Xexp6 + 1 / (X exp2 +1)(X-1)exp3

j veux faire la decomposition en element simple

je trouve E(X) = 2X - 6 + Q(X)/R(X)
et après je suis bloqué

R(X) = denominateur
Q(X) = Reste de la division ecludienne

freddy

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Re : Decomposition en éléments simple de fraction rationnelle

Salut,

pas très lisible ton pb.

sous latex, on voit que [tex]F(X)=\frac{2X^6+1}{(X^2+1)(X-1)^3}= 2X+6 +\cdots[/tex]

Si c'est bien ça, quelles sont les racines du dénominateur ? Tu es dans [tex]\mathbb{R}[/tex] ou dans [tex]\mathbb{C}[/tex] ?

Sais-tu faire une division selon les puissances décroissantes ?

Va voir là

Dernière modification par freddy (19-01-2016 08:40:05)

Ostap Bender

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Re : Decomposition en éléments simple de fraction rationnelle

@ Freddy : Bel effort de déchiffrage !

@Ouattara. Les pôles complexes sont simples, donc ne posent pas de difficultés. Le pôle réel peut être vaincu soit par une division par les puissances croissantes comme le suggère Freddy, soit par un développement limité au voisinage de [tex]1[/tex].

Enfin tu n'as pas dit si tu souhaitais une décomposition sur [tex]\bf R[/tex], sur [tex]\bf C[/tex], sur le corps à deux éléments...

C'est comme le reste, c'est à nous de deviner, c'est ça ?

Ostap Bender

freddy

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Re : Decomposition en éléments simple de fraction rationnelle

Re,

décroissantes, Ostap, décroissantes ...

Je suppose qu'il est dans [tex]\mathbb{R}[/tex], donc je ferais la division à la main et le dénominateur est tout trouvé !

S'il est dans [tex]\mathbb{C}[/tex], on devait avoir quelque chose du genre :

[tex]\frac{2X^6+1}{(X^2+1)(X-1)^3}=2X+6+ \frac{z_1}{X-i}+\frac{z_2}{X+i}+\frac{z_3}{(X-1)^3}+\frac{z_4}{(X-1)^2}+\frac{z_5}{(X-1)}[/tex], sauf erreur (c'est très ancien, pour moi ... et comme je n'ai pas trop d'égo d'auteur, merci de me corriger le cas échéant, mais gaffe de ne pas faire d'erreur, je reste en mesure de vérifier :-))

Ensuite, on procède par différentes techniques d'identifications pour trouver les 5 nombres complexes.

Dernière modification par freddy (19-01-2016 10:24:03)

Ostap Bender

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Re : Decomposition en éléments simple de fraction rationnelle

Je maintiens : croissantes. Je valide ta décomposition... sur [tex]\bf C[/tex].

Ostap Bender

freddy

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Re : Decomposition en éléments simple de fraction rationnelle

Re,

je persiste : pour transformer la fraction rationnelle de la manière indiquée dans son post #1, soit [tex]\frac{P(X}{Q(X)}=2X+6+\frac{R(X)}{Q(X)}[/tex], c'est mieux comme je dis. C'est même comme cela que j'ai fait pour trouver[tex] 2X+6[/tex], lui laissant trouver le reste.

Ostap Bender

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Re : Decomposition en éléments simple de fraction rationnelle

@ Freddy.

Pour trouver la partie entière [tex]2X+6[/tex] tu utilises la division euclidienne. L'appeler division selon les puissances décroissantes, pourquoi pas ? Mais ce n'est pas l'appellation la plus courante.

Tout ça c'est du détail. Attendons plutôt Ouattara pour la suite des calculs. Pour ma part je suis patient...

Ostap Bender

freddy

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Re : Decomposition en éléments simple de fraction rationnelle

@Ostap,

si Ouattara nous répond, je t'offre une bière dans une brasserie parisienne de ton choix ! :-)
Souvent, les gars viennent, posent la question, attendent très vite la réponse et sinon, vont la chercher ailleurs. N'oublie pas, c'est la génération des zappeurs vidéo qi n'ont pas trop envie de se casser la tête à réfléchir.

Dernière modification par freddy (22-01-2016 13:04:57)