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Elya

Invité

Dérivé partielle

salut s'il vous plait un peut d'aider 
             j'ai une fonction               f(x,y)=(xy,yz,xz)
                                                   g(u,v,w) = uvw                    (Exemple )
  j'ai besoin de calcule la dérive partielle de la fonction    ∂(gof) directement et pas par la méthode de matrice jacobienne

   lorsque je composé g et f j'obtient  g(xy,yz,xz)=x²y²z²
    moi je dérivé par rapport a x et par rapport a y  et ......?
                                                   

                                                        (∂(gof)/∂x) + (∂(gof)/∂y + (∂(gof)/∂??) 

qu'est ce que je doit fait pour la troisième  dérivé ?????    et Mercii d'avance

Fred

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Re : Dérivé partielle

Bonjour,

  Que souhaites-tu faire? S'il s'agit de dérivées partielles, alors tu ne dois pas dire je dois calculer LA dérivée partielle de la fonction, mais LES dérivées partielles. La fonction [tex]g\circ f[/tex] dépend de 3 variables, et tu dois donc calculer TROIS dérivées partielles, à savoir
[tex]\frac{\partial g\circ f}{\partial x}, \frac{\partial g\circ f}{\partial y}, \frac{\partial g\circ f}{\partial z}[/tex].

S'il s'agit de différentielle, alors là tu peux bien parler de LA différentielle de la fonction. Tu peux la calculer en utilisant son expression à partir des trois dérivées partielles.

F.

Elya

Invité

Re : Dérivé partielle

mais monsieur j'ai un petite problem f(x,y) = (x,y,x²) exemple car f :R²--->R³  donc definit just 2 variable

Ostap Bender

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Re : Dérivé partielle

Bonjour Elya.

Non, il n'y a pas de problème, ni grand, ni petit.
Ta fonction [tex]f[/tex] ne dépend pas de [tex]z[/tex]. Donc sa dérivée par rapport à [tex]z[/tex], [tex]\frac{\partial f}{\partial z}[/tex] est nulle.
Je prends ton exemple [tex]f(x,y,z) =(x,y,x^2)[/tex] et [tex]g(u,v,w)=uvw[/tex].
Tu as donc [tex]h(x,y,z) = g\circ f(x,y,z) = xyx^2 = x^3y[/tex].
Donc [tex]\frac{\partial h}{\partial x}(x,y,z) = 3x^2y[/tex].
Avec la formule des dérivées des fonctions composées :
[tex]
\frac{\partial h}{\partial x}(x,y,z) = \frac{\partial h}{\partial u}(x,y,x^2)\times \frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y,z) + \frac{\partial h}{\partial v}(x,y,x^2)\times \frac{\partial f_2}{\partial x}(x,y,z) + \frac{\partial h}{\partial v}(x,y,x^2)\times \frac{\partial f_3}{\partial x}(x,y,z)\\
\phantom{\frac{\partial h}{\partial x}(x,y,z) }= yx^2\times1 + x^3\times0 + xy^2x\\
\phantom{\frac{\partial h}{\partial x}(x,y,z) }= 3x^2y
[/tex]
Donc tout va bien.

Je te laisse terminer.

Ostap Bender

Dernière modification par Ostap Bender (15-01-2016 18:33:11)

Elya

Invité

Re : Dérivé partielle

mais non dans cette exemple  f définit de R² ver R³ ???

                                              f : R²--->R³
                                                (x,y)-->(x,y,x²)
c'est seulement un  exemple     principe ce que f définit de R² ver R³ et g  définit de R³ ver R
                                               g: R³--->R
                                                 (u,v,w)--->uvw
  alors la dériver de g sera suivant x,y et z  mais lorsque on compose (gof) on obtient jus deux variable x,y ?
               g(f(x,y)) = x³y      avec g(f(x,y)) définit de R³ ver R ,
est ce que (gof) admet des dérivées partielle suivant x,y,z ?  si oui comment peut calculer ?

Fred

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Re : Dérivé partielle

Je ne comprends pas ce qui te gène....
Sur les exemplesque tu donnes, [tex]g\circ f[/tex] est une fonction de [tex]\mathbb R^p[/tex] à valeurs dans [tex]\mathbb R[/tex].
Ce que te dit Ostap Bender, c'est de calculer sur les exemples que tu as [tex]g\circ f[/tex], puis de calculer les dérivées partielles de façon usuelle.

Si tu veux une formule dans le cas général, alors je ne comprends pas bien ta question.... La formule que tu obtiendras ne pourra être que celle que l'on obtient avec les matrices jacobiennes (et la méthode sera toujours plus ou moins la même).

F.

Ostap Bender

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Re : Dérivé partielle

Elya,

Je reprends ton exemple en deux variables :
[tex]f(x,y) =(x,y,x^2)[/tex] et [tex]g(u,v,w)=uvw[/tex].
Tu as donc [tex]h(x,y) = g\circ f(x,y) = xyx^2 = x^3y[/tex].
Donc [tex]\frac{\partial h}{\partial x}(x,y,z) = 3x^2y[/tex].
Avec la formule des dérivées des fonctions composées :
[tex]
\frac{\partial h}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial h}{\partial u}(x,y,x^2)\times \frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y) + \frac{\partial h}{\partial v}(x,y,x^2)\times \frac{\partial f_2}{\partial x}(x,y) + \frac{\partial h}{\partial v}(x,y,x^2)\times \frac{\partial f_3}{\partial x}(x,y)\\
\phantom{\frac{\partial h}{\partial x}(x,y) }= yx^2\times1 + x^3\times0 + xy^2x\\
\phantom{\frac{\partial h}{\partial x}(x,y) }= 3x^2y.
[/tex]
Tu constateras que les calculs sont exactement les mêmes.

Ostap Bender

Dernière modification par Ostap Bender (15-01-2016 18:32:14)