Polynômes et fractions rationnelles.

Terces · 08-01-2016 23:36:03

Bonsoir à tous ou bon matin pour d'autres ou encore bon aprem pour d'autres !
Bref ce post n'est pas heuresiste.

Alors, J'ai plusieurs questions :

-=> Determiner les racines du polynome P(X) = X² + X + 1 donc ca je l'ai fait.
Mais ensuite on me demande si P divise (X⁸ + 1)⁸ - X⁸ donc la je n'ai pas trouvé mais ma calculette me dit que oui.
Puis si P divise (X⁵ + 1)⁵ - X⁵ et la j'ai trouvé en prenant X=1, on trouve 31/3 pour la division par P mais il y a sans doute une méthode plus générale pour démontrer que non.

-=> Ensuite, j'ai également un souci sur un autre exercice : Je dois donner la décomposition en éléments simples de F(X) = X² / (X+2)⁴ et la il y a un problème pour trouver les racines (du dénominateur) car normalement on fait a/rac1 + b/rac 2 etc ... (avec donc rac1 * rac2 * ... * racn valant le polynôme) et c'est assez simple. Mais ici l’enseignant-chercheur a posé a/(x+2) + b/(x+2)² + c/(x+2)³ + d/(x+2)⁴
et après on trouve donc a, b, c et d mais chacun des "nouveaux dénominateurs" devaient êtres irréductibles ?

Voilà, merci d'avance pour votre aide en espèrent avoir été clair.

[EDIT by Yoshi]
N'est-ce pas mieux ainsi ?

car normalement on fait [tex]\frac{a}{\text{racine1}} +\frac{b}{\text{racine2}}[/tex] etc ... (avec donc [tex]\text{racine1 * racine2 * ... * racinen}[/tex] valant le polynôme) et c'est assez simple. Mais ici l’enseignant-chercheur a posé [tex]\frac{a}{x+2} + \frac{b}{(x+2)^2} + \frac{c}{(x+2)^3} + \frac{d}{(x+2)^4}[/tex]

Dernière modification par yoshi (09-01-2016 08:30:01)

freddy · 09-01-2016 07:52:54

Salut,

pour le 2, c'est normal, puisque la racine du quotient est quadruple.
Pour le 1, Fred ou d'autres devraient te dire plus vite que moi (qui fouille dans ses souvenirs ;-)) mais souviens toi de la règle de la différence de deux carrés !

PS : mets toi au Latex, stp.

Dernière modification par freddy (09-01-2016 08:36:04)

yoshi · 09-01-2016 08:36:39

Bonjour

@Terces
Tu es capable de coder en Python, donc tu es capable de coder en LateX, non ?
Va lire cette page : Code Latex
Après, édite ton post et regarde ce que j'ai fait...

Si vraiment, vraiment tu es trop fatigué pour ça, alors Fred a développé en Java (donc Java doit être installé sur ta machine) une interface homme/LateX accessible depuis un clic sur le bouton Insérer une équation. Tu pourras même depuis l'éditeur récupérer une très court (70 ko) fichier de familiarisation (en pdf)...

@+

freddy · 09-01-2016 10:57:51

Re,

pour la question 1, désolé, mais je crois qu'il faut que tu te "cognes" la division en vrai, dans les deux cas, pour vérifier que dans le premier, le reste est nul, et non nul dans la deuxième. Je n'ai pas trouvé d'autres astuces, mais la question reste ouverte.

Terces · 09-01-2016 11:21:21

Salut,
c'est bon je crois que j'ai compris pour la deuxième, merci.
Pour la première, j'avais demandé à mon professeur de mathématiques mais je n'avais pas compris et vu que j'avais chimie après, je lui ai dit que je reverrais ca chez moi mais voila quoi :( ha oui freddy, je vais chercher avec la "règle" de la différence entre deux carrés mais je ne trouves pas pour le moment.

PS : pour le latex ok j'apprendrais les bases mais la je trouvais ca clair, il n'y a pas de confusions à avoir sur ces petites expressions, non ?

Dernière modification par Terces (09-01-2016 11:43:10)

freddy · 09-01-2016 11:46:36

Re,

pour Latex, mets y toi le plus vite possible, c'est ultra simple et ensuite, tu ne pourras plus t'en passer pour communiquer avec nous et avec d'autres. La version 2010 de Word intègre un éditeur d'équation qui gère très bien Latex, donc pour tes futures publications :-)

Terces · 09-01-2016 12:16:41

Re,

Je suis allé voir le lien de yoshi et sur la page wikipédia j'ai vu quelques symboles dont je n'ai pas trouvé ce qu'ils voulaient dire, pourrais-tu m'expliquer ?

1) En physique on utilise >> pour "bien plus grand" mais >>> ca veut dire énormément plus grand ?
2) Ensuite j'ai vu un grand pi à l'envers : [tex]\coprod[/tex]
3) [tex]\biguplus[/tex]
4) [tex]\sqsubseteq[/tex]

désolé si c'est un peu H.S.

Ostap Bender · 09-01-2016 12:21:08

Bonjour Terces.

Les racines de [tex]X^2+X+1[/tex] sont simples. Sont-elles racines de [tex] (X^8 + 1)^8 - X^8[/tex] ?
On peut se contenter de faire la vérification pour [tex]j[/tex]. Pourquoi ?

Ostap Bender.

camille23 · 09-01-2016 13:00:34

Bonjour,
si cela peut aider :

[tex](x^8+1)^8-x^8=((x^8+1)^4-x^4)((x^8+1)^4+x^4)=((x^8+1)^2-x^2)((x^8+1)^2+x^2)((x^8+1)^4+x^4)[/tex]

[tex](x^8+1)^8-x^8=(x^8+1-x)(x^8+1+x)((x^8+1)^2+x^2)((x^8+1)^4+x^4)[/tex]

Un des facteurs est divisible :
[tex] (x^8+1+x)=(x^6-x^5+x^3-x^2+1)(x^2+x+1)[/tex]

freddy · 09-01-2016 14:21:17

Ostap Bender a écrit :

Bonjour Terces.
Les racines de [tex]X^2+X+1[/tex] sont simples. Sont-elles racines de [tex] (X^8 + 1)^8 - X^8[/tex] ?
On peut se contenter de faire la vérification pour [tex]j[/tex]. Pourquoi ?
Ostap Bender.

Salut Ostap,

Voilà un petit moment que je t'observe et je trouve ta méthode un peu curieuse.
Je m'explique. Tu ne fais que poser des questions à des gars qui s'en posent déjà beaucoup. Je ne sais pas si tu as conscience que ce n'est pas de nature à vraiment l'orienter, car les gars qui viennent nous voir, comme tu l'auras remarqué, et à quelques exceptions près, ont un niveau faible, voire très faible.
Ainsi, tu lui parles de [tex]j[/tex]. Je suppose que tu fais références au troisième terme qui permet de définir H, le corps des quaternions (non commutatif, voir quaternions)
Mais lui, le sait-il seulement ?
Alors d'une question qui l'handicape, tu le projettes dans un autre abîme de perplexité, comme moi d'ailleurs :-)
Pourquoi ne pas lui donner les deux racines de[tex] X^2+X+1[/tex] et lui proposer de voir si elles sont aussi racines de [tex](X^8+1)^8-X^8[/tex] ?

Tu vois, Camille23 a poursuivi la piste que j'avais commencée ce matin (cf. ma suggestion), pour arriver à une conclusion lumineuse, celle à laquelle il devrait arriver en se bougeant un peu les neurones, ce qu'il ne fait pas souvent, faut en convenir :-)

Dernière modification par freddy (09-01-2016 14:24:54)

Ostap Bender · 09-01-2016 14:34:50

Justement Freddy, [tex]j[/tex] est une notation standard pour une des racines de [tex]X^2+X+1[/tex], à savoir [tex]\exp\left( \frac{2i\pi}3 \right)[/tex]. Terces a affirmé avoir trouver les-dites racines. Tu vois des quaternions où il n'y en a pas à mon humble avis.

Si mes explications ne sont pas claires - au moins pour Terces - je suis en mesure de lui fournir des explications pour aller plus loin.

Si elles ne conviennent pas tout court, il y a des tas d'endroits où je puis aller planter mes choux.

Une autre question ?

Ostap Bender.

freddy · 09-01-2016 14:48:27

Re,

depuis quand est ce une notation internationale standard ?
Comme je ne suis plus tout jeune, il est tout à fait possible que j'ai raté une, deux, voire plusieurs étapes dans le pgm de math d'une terminale scientifique.
Cela étant, qui t'empêchait de dire ce que valait le [tex]j[/tex], au moins pour être sûr que tout le monde comprenne ? Tu sais, comme dans la littérature scientifique, on définit toujours ses termes au fur et à mesure qu'on les introduit, pour se rendre plus intelligible.
Serais-tu enseignant, étudiant, chercheur, ingénieur, amateur = amoureux de la discipline, ... ?
Pouvais tu voter en 2002 ?

Pour les choux, c'est toi qui vois, tu es seul responsable de tes actes, me semble t-il.

camille23 · 09-01-2016 15:05:59

re bonjour,

Ostap Bender a raison, je n'avais pas regardé sa solution avant de poster ce que j'avais décortiqué,
j est une notation connue et la vérification qu'il propose est "immédiate".

yoshi · 09-01-2016 15:37:23

Bonjour,

Camille23 a écrit :

j est une notation connue.

Je vous prie (supplie ?) de bien vouloir me permettre de me coucher moins bête ce soir...
Veuillez donc excuser mon ignorance crasse de cette notation...
(Je me demande si après cet aveu, je ne vais pas être cloué au pilori des incapables...
Au pire, je prendrai RDV avec freddy et on alternera pétanque et échecs...)

La seule notation j que je connaisse est celle qui remplaçait i en électricité Math Elem (je m'étais d'ailleurs toujours demandé pourquoi...).
j serait donc un des deux nombres [tex]\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}[/tex] ?
Alors, j'ai ressorti un bouquin où il est écrit "Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire"... Bizarre comme nom, hein ...
M'enfin bon, j'ai essayé - péniblement vous vous en doutez, vu mon ignorance - de lire le chapitre consacré aux nombres complexes...
C'est marrant, je n'y ai pas lu une définition standard archiconnue de ce j...

Bizarre ! Un manuel à jeter à la poubelle, donc ?

@+

[EDIT]
Après recherche (et pas du premier coup) j'ai fini par tomber là-dessus :

Soit ρ le module et θ un argument de z. On a z = ρ(cosθ + i.sinθ). Posons r = m(cosα + i.sinα), m > 0; selon la formule de Moivre, on a rn = mn(cos nα + i.sinα); par suite : m^n = p et et θ = nα, d'où [tex]m=\sqrt[n] ρ[/tex] et \alpha = \frac{theta}{n}+\frac{2k\pi}[n},k=0,1,2...n-1
Ce qui fournit n racines distinctes.
Les racines n-èmes (énièmes) de l'unité, racine primitive et cas n = 3, 4 et 6, :
L'équation [tex]r^n = 1[/tex] conduit à : m = 1 et α = 2kπ/n , k = 0, 1, ..., n-1.
Si n = 3, racines 3èmes, dites cubiques : on a α = 2kπ/3 , k = 0, 1, 2. On note généralement j (notation logique après celle de i) la racine cubique correspondant à k = 1 :
[tex]j=\frac{-1- \sqrt 3}{2}[/tex]

Ce "généralement" me fait dire que j est une notation pas si standard que ça...

Dernière modification par yoshi (09-01-2016 16:26:23)

Ostap Bender · 09-01-2016 16:57:53

@ Modo & Modo.

Une recherche rapide m'a donné cela du premier coup. L'adverbe de garde est "habituellement". À noter qu'entre les deux liens, [tex]j[/tex] s'est conjugué lui-même. Il semblerait aussi que Wikipedia et moi-même partagions les mêmes notations.

Nouveau sur ce forum, intitulé "Entraide (supérieur)" je pensais dans ma grande naïveté avoir affaire à des mathématiques du supérieur, adjointes aux notations afférentes. D'où mon étonnement à ce que vous m'opposassiez "Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire" qui ne me semble pas relever de cette catégorie. (les manuels de terminale sont à jeter à la poubelle, mais pour d'autres raisons)

À part ça [tex]j[/tex] est une notation que j'ai effectivement croisée en électricité et qui doit désigner des tas d'autres choses dans des tas d'autres domaines.

L'essentiel c'est que Camille ait fait ses choux gras de mon indication. J'ose espérer que Terces ne fasse pas chou blanc avec.

Ostap Bender

yoshi · 09-01-2016 17:15:17

Bonjour,

Ô puits de science et de sagacité...
C'est vrai, c'était Enseignement supérieur, dont acte !
Cela dit le niveau de l'explication remonte bien au prog de TS !
Quant à Wikipedia, il est le fruit (très goûteux) de multiples participations, mais si j'étais encore en activité, je crois bien que j'éviterais d'y faire référence devant un IPR...
Par contre, au moins un IPR partage ton opinion sur les manuels : j'ai entendu un jour l'un d'entre eux répondre : << Le manuel ? C'est de la littérature... Seuls font foi le BO comprenant les programmes officiels et les documents d'accompagnements... >>
Nonobstant et au risque de te chagriner fortement, un vulgaire prof de Maths gagne du temps avec les Manuels, quand bien même iceux ne sont en général pas faits pour ceux (les élèves - pardon les apprenants -) à qui ils sont en principe destinés...

Alors, si j est une notation conventionnelle de l'Enseignement supérieur (désolé, je n'ai pas de manuel de l'enseignement supérieur sous la main, c'est te dire si je suis en dessous de tout !), je m'en vais retourner jouer aux billes avec ceux de ma rue, et laisser les vrais mathématiciens s'occuper entre eux...

N-B : si j'écris en tant que modo, je signe en excipant de ce rôle, dans le cas contraire, je suis un individu lambda et le plus ancien sur ce forum (du temps de son sauvetage...).

@+

[EDIT]habituellement n'est pas mieux que généralement...

Dernière modification par yoshi (09-01-2016 17:17:07)

camille23 · 09-01-2016 18:19:09

Bonsoir,

Stop ! Faisons seulement l'exercice mathématique proposé : Prenons[tex] j =e^\frac{2i\pi}{3}[/tex]
[tex]\text{l'argument de } j^8\text{ est } \frac{16\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}[/tex]
[tex]\text{l'argument de } j^8+1\text{ est } \frac{5\pi}{3}[/tex]
[tex]\text{l'argument de } (j^8+1)^8\text{ est } \frac{40\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}[/tex]
[tex]\text{l'argument de } (j^8+1)^8-j^8\text{ est }\frac{4\pi}{3}-\frac{4\pi}{3}=0[/tex]

Le même développement en puissance 5 est tout aussi démonstratif

Dernière modification par yoshi (09-01-2016 19:19:31)

freddy · 09-01-2016 18:20:38

Re,

à titre tout à fait personnel, et je pense ne pas être démenti par d'autres spécialistes, la rubrique "Enseignement supérieur - Algèbre " considère que la lettre "j" désigne le troisième terme du groupe des quaternions. Et comme la notion est relativement ancienne, tout professionnel devrait éviter de s'arroger une lettre déjà réservée, sauf à en préciser le sens.
Là où je fais amende honorable est que je n'ai pas cherché les racines du premier polynôme, ce que j'aurais dû faire.
Seconde amende honorable : Terces pose des questions sur des sujets assez faciles (pb des pré-jugés). Je me suis alors dit que son prof voulait le faire trimer et n'ai pas cherché plus avant d'astuces autre que celle de la différence de deux carrés ou la division "à la main". Si j'avais commencé par répondre à la première question, c'est sûr que j'aurai vu le "truc". En maths, les ficelles pédagogiques sont presque toutes les mêmes.

Dernier point, à l'usage des nouveaux (pour les anciens, le pli est pris) : toujours donner les définitions des termes que l'on emploie, c'est la base de la communication et ça évite les malentendus :-)

Et pour finir, pace è salute e basta :-)

@camille23
un petit conseil : ne donne d'ordre à quiconque ici, ce n'est pas dans l'esprit de la maison.

Dernière modification par freddy (09-01-2016 18:24:50)

Terces · 09-01-2016 19:26:24

Bonsoir, je vois qu'il y a eu du "grabuge" cet apres-midi.
Personnellement, je n'ai pas entendu parlé de j au lycée (et je suivais en cours), j'en ai juste entendu parlé cette année comme l’équivalent de i en physique car i est déjà la lettre pour l'intensité pour répondre à Yoshi (en tout cas c'est ce que nous avait dit le professeur).

Je vais essayer de comprendre plus en détail vos explications.

PS: freddy "en se bougeant un peu les neurones, ce qu'il ne fait pas souvent, faut en convenir :-)"
Je sais et j'en suis désolé mais ce matin ne crois pas que je n'y ais pas réfléchi du tout quand même,
J'avais posé a⁸-b⁸ = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a⁴+b⁴), je crois que c'est juste et après j'avais fait une division euclidienne de a-b par X²+X+1 en remplaçant respectivement a et b par X⁸+1 et X mais ca m'a donné un reste (non nul) et en effet la j'ai abandonné mes recherches...

yoshi · 09-01-2016 19:36:55

Re,

Terces a écrit :

j'en ai juste entendu parlé cette année comme l’équivalent de i en physique car i est déjà la lettre pour l'intensité pour répondre à Yoshi (en tout cas c'est ce que nous avait dit le professeur).

C'est une explication - qui pourrait être plausible - de prof de maths ou de Physique ?
Parce que le i pour l'intensité, je suis en désaccord...
Les formules, je les ai apprises comme ça :
P =U.I = R.I² : W = R.I².t... jamais avec un i minuscule !

Et non, il n'y a pas eu de grabuge ! Justes des échanges - parfois un peu vifs - comme souvent entre passionnés...

Terces a écrit :

Personnellement, je n'ai pas entendu parler de j au lycée (et je suivais en cours), j'en ai juste entendu parleré cette année comme l’équivalent de i en physique

No comment ^_^

@+

Terces · 09-01-2016 20:12:08

Re,
prof de physique.

freddy · 09-01-2016 20:43:26

Terces a écrit :

[...]
PS: freddy "en se bougeant un peu les neurones, ce qu'il ne fait pas souvent, faut en convenir :-)"
Je sais et j'en suis désolé mais ce matin ne crois pas que je n'y ais pas réfléchi du tout quand même,
J'avais posé a⁸-b⁸ = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a⁴+b⁴), je crois que c'est juste et après j'avais fait une division euclidienne de a-b par X²+X+1 en remplaçant respectivement a et b par X⁸+1 et X mais ca m'a donné un reste (non nul) et en effet la j'ai abandonné mes recherches...

Salut,

je ne sais pas si c'est juste, ce qui est faux est la division que tu as ensuite tentée.
Il eût fallu développer le polynôme de d° 64 et se cogner la division, travail de bourrin, conviens-en ! Ou faire comme Camille23, mon idée de départ.
J'ai ensuite cherché à trouver un lien "formel" entre [tex]X^2+X+1=(X+1)^2-X[/tex] et [tex](X^8+1)^8-X^8[/tex], c'était tentant ...

D'où le principe général : quand un calcul te semble très compliqué, cherche l'astuce qui va te permettre de le faire plus facilement. Et cette astuce est souvent donnée soit par un résultat récent de cours, soit par une ou deux questions introductives qui ne sont jamais anodines.
Les meilleurs exemples sont à chercher en arithmétique, mais en algèbre, c'est aussi assez courant.
La preuve !!!
Et dernière règle : bosser, bosser, bosser, sans cesse, sans relâche, tant que tu n'as pas trouvé. C'est comme cela que tu vas progresser en prépa ! :-)

Dernière modification par freddy (09-01-2016 20:49:47)

Terces · 09-01-2016 21:09:52

Je ne suis pas en prépa mais en licence SFA en "parcours spéciaux"...
J’aimerais bien bosser non stop mais je n'y arrives pas, bien que j'aime beaucoup les maths :(
Bon je vais manger.

A+

Dernière modification par Terces (09-01-2016 23:50:36)

freddy · 09-01-2016 23:02:55

Re,

j'ai dû confondre, quelqu'un avait dit être en MPSI ... je pensais que c'était toi !

Terces · 09-01-2016 23:49:51

Ostap Bender a écrit :

Bonjour Terces.
Les racines de [tex]X^2+X+1[/tex] sont simples. Sont-elles racines de [tex] (X^8 + 1)^8 - X^8[/tex] ?
On peut se contenter de faire la vérification pour [tex]j[/tex]. Pourquoi ?
Ostap Bender.

Salut, oui elles sont racines de [tex] (X^8 + 1)^8 - X^8[/tex]
Appelons ces racines a1 et a2
Donc (X- a1)*(X-a2) = P et [tex] (X^8 + 1)^8 - X^8[/tex] et divisible par (X- a1)*(X-a2) donc par P, c'est ca ?

Merci de ton aide.

Ha, je viens de voir que ca correspond à ce qu'à fait camille donc c'est bon, je crois que j'ai compris :)

PS pour Yoshi : Dans mon cours de physique, parfois on utilise un I ou un i pour l'intensité alors j'ai fait des recherches et j'ai vu que :
le I c'est pour des intensités cstes et le i c'est pour des intensités en fonction du temps.
En regardant mon cours j'ai même vu une formule ou i et j apparaissent en même temps donc il était apparemment nécessaire de changer cette "convention" mathématique en physique.

Dernière modification par Terces (09-01-2016 23:58:25)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 08-01-2016 23:36:03

Polynômes et fractions rationnelles.

#2 09-01-2016 07:52:54

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#3 09-01-2016 08:36:39

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#4 09-01-2016 10:57:51

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#5 09-01-2016 11:21:21

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#6 09-01-2016 11:46:36

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#7 09-01-2016 12:16:41

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#8 09-01-2016 12:21:08

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#9 09-01-2016 13:00:34

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#10 09-01-2016 14:21:17

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#11 09-01-2016 14:34:50

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#12 09-01-2016 14:48:27

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#13 09-01-2016 15:05:59

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#14 09-01-2016 15:37:23

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#15 09-01-2016 16:57:53

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#16 09-01-2016 17:15:17

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#17 09-01-2016 18:19:09

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#18 09-01-2016 18:20:38

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#19 09-01-2016 19:26:24

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#20 09-01-2016 19:36:55

Re : Polynômes et fractions rationnelles.

#21 09-01-2016 20:12:08

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#22 09-01-2016 20:43:26

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#23 09-01-2016 21:09:52

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#24 09-01-2016 23:02:55

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#25 09-01-2016 23:49:51

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