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mathilde98

Invité

maths

Bonjour!! :)

je dois faire une récurrence mais j'ai un probleme; je dois un moment multiplier des inégalités qui n'ont pas le même signe
Je m'explique

On considère la fonction g définie sur o à plus l'infini  par
g(x) = e^x − x − 1.

On a montré que pour tout x compris entre 1/2 et 1 on avait
(1/2) < 1/(e^(x)-x) < (9/10)

Dans une question qui suit on a la fonction
g(Un) = U(n+1)  avec Uo= (1/2)
et on doit montré que

Un-1 < (9/10)^(n) * (Uo-1)    (donc négatif)

Pour montré que cette proposition est vraie je dois montre que
U(n+1) -1 < (9/10)^(n+1) * (Uo-1)

J'ai calculé U(n+1) -1 = (Un-1) / ( e^(Un) -Un)

du coup j'aimerais multiplier l'hypothèse de récurrence et le résultat du début mais comme ils ont pas les mêmes signes c'est pas possible....Mais comment faire alors?

merci d'avance! :)

yoshi

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Re : maths

Salut,

Difficile à lire sans codage LateX.
Donc, je m'y colle...
Je vais devoir m'absenter et tâcherai de répondre à mon retour.
D'ici là le codage peut faciliter la tâche d'autres intervenants.
Donc tu sais que
*  [tex]\forall x \in \left]\frac 1 2\;;\; 1\right[,\; \frac 1 2 < \frac{1}{e^x-x}< \frac{9}{10}[/tex]
* une fonction g définie sur [tex][0\;;\;+\infty[[/tex] est telle que [tex]g(x)=e^x-x-1[/tex]
   on pose [tex]U_{n+1}=g(U_n)[/tex]

et tu dois montrer que :
[tex]U_n-1<\left(\frac{9}{10}\right)^n\times (U_0-1)[/tex]

Comme [tex]U_0=\frac 1 2[/tex], cela revient donc à chercher à montrer que :
[tex]U_n-1<-\frac 1 2 \times\left(\frac{9}{10}\right)^n[/tex]

Toi, tu souhaites montrer que
[tex]U_{n+1}-1 < \left(\frac{9}{10}\right)^{n+1}\times (U_0-1)[/tex]

Tu dois montrer que [tex]U_n-1<-\frac 1 2 \times\left(\frac{9}{10}\right)^n[/tex] ou que [tex]U_n-1<0 ?[/tex]

Je pense que tu devrais donner ton énoncé complet, ce serait plus clair...

@+.

Dernière modification par yoshi (21-12-2015 10:45:51)

yoshi

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Re : maths

Re,

[tex]U_0=\frac 1 2[/tex]
[tex]U_1=e^{U_0}-U_0-1=\sqrt e -\frac 3 2\approx 0.1487212707001282...[/tex]
Si je prends la formule que tu as trouvée :
[tex]U_{n+1}-1=\frac{U_n-1}{e^{U_n}-U_n}\;\Leftrightarrow\;U_{n+1}=\frac{U_n-1}{e^{U_n}-U_n}+1[/tex]
pour n = 0 :
[tex]U_1=\dfrac{\frac 1  2 -1}{e^{\frac 1 2}-\frac 1 2}+1=\frac{-1}{2\sqrt e -1}+1\approx 0.5647334016064162...[/tex]

Il y a un problème...

@+