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hanane20

Invité

Stabilité asymptotique

Salut
je suis bloquée sur un exercice.
Exercice:
Une population est donnée par l'équation:  [tex]u_{n+1}=(1-a)u_ne^{(3-(1-a)u_n)}[/tex]
pour[tex] 0<a<1[/tex].
Trouver la valeur de  a pour laquelle la population admet un équilibre ( positive et stable )?

Essai:
1)Les points fixes: [tex]u=0[/tex] et[tex] u=\frac{\log{(1-a)}+3}{1-a}=u*[/tex].
2)Etude de la stabilité:
[tex]f'(u)=a(1-a)e^{(3-(1-a)u)}[/tex]
a)
[tex]f'(0)=a(1-a)e^{(3)}[/tex] donc [tex]u=0[/tex] est stable si et seulement si [tex]a(1-a)e^{(3)}<1[/tex] et implique que [tex]u=0[/tex] est stable pour [tex]0<a<1[/tex].
b)
[tex]f'(u*)=a[/tex] donc [tex]u*[/tex] est stable pour [tex]a<1[/tex] et u* est positive pour [tex]a<1-e^{-3}[/tex]

donc je dois prendre la valeur de a dans quelle intervalle ?

Merci d’avance.

freddy

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Re : Stabilité asymptotique

Salut,

ça parait pourtant évident : tu veux que la loi d'évolution de ta population converge vers un nombre positif (et non nul, solution triviale) fixe et stable.

Donc logiquement, si tes calculs sont exacts, ce que je n'ai pas vérifié, tu dois retenir [tex]0 \lt a \lt 1-e^{-3}[/tex]

hanane20

Invité

Re : Stabilité asymptotique

Merci pour explication.
Pour [tex]f′(0)=a(1−a)e^(3)[/tex] donc [tex]u=0[/tex] est stable si et seulement si[tex] a(1−a)e^(3)<1.[/tex]
On a: [tex]a(1−a)e^(3)<1[/tex] implique que  [tex](1−a)e^(3)<1[/tex] (car: [tex]a<1[/tex] par hypothèses)  donc on trouve [tex]a>(1-e^(3)).[/tex]?

Encore Merci.

freddy

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Re : Stabilité asymptotique

Salut,

u=0 est une solution triviale : s'il n'y a personne, il n'y aura jamais quelqu'un ... C'est la disparition de la population !